1 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 2，这里将会是4乘以3 2 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 30度 3 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 cah 4 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 toa 5 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 一半 6 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 一半， 7 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 什么是60度的正切值 8 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 余弦值 9 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 假设，这条边 10 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 加上16 11 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 同时 12 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 或者某个人问你 13 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 斜边，4 14 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 是2 15 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 有理化了 16 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号3 17 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号3 18 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号3 19 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号65 20 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号65 21 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 根号65 22 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 正切值 23 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比 24 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比4 25 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比斜边 26 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比斜边 27 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比根号3 28 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 比邻边，哪条是邻边 29 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 虽然我刚做了 30 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 都将会在直角三角形里。 31 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 长度是2 32 00:00:00,800 --> 00:00:03,017 让我们来做大量的习题，只是想确保我们 33 00:00:03,017 --> 00:00:07,036 把基本三角函数掌握得很好。 34 00:00:07,036 --> 00:00:11,447 让我们来构思一些直角三角形。 35 00:00:11,447 --> 00:00:13,668 让我们来构思些直角三角形，而且我想把它解释得十分清楚明白。 36 00:00:15,186 --> 00:00:18,042 目前为止，它们只适用于直角三角形，所以如果你正在找 37 00:00:18,042 --> 00:00:23,475 一些不是在直角三角形里的角的三角函数，我们将要 38 00:00:25,704 --> 00:00:27,867 必须要构建直角三角形，但现在我们只集中注意力在直角三角形。 39 00:00:27,867 --> 00:00:31,344 因此我们说，我有一个三角形，而且假设这里的长度是7 40 00:00:33,897 --> 00:00:37,757 也假设，这条边的长度，是4 41 00:00:39,452 --> 00:00:42,516 让我们找出这里的斜边将会是多少。因此我们知道 42 00:00:42,516 --> 00:00:45,720 让我们把斜边叫做“h” 43 00:00:45,720 --> 00:00:52,200 我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方 44 00:00:52,200 --> 00:00:55,194 这从勾股定理中来， 45 00:00:55,194 --> 00:00:57,469 斜边的平方等于 46 00:00:57,469 --> 00:01:01,974 其他两条边的平方的总和 47 00:01:01,974 --> 00:01:04,533 8的平方等于 7的平方+4的平方 48 00:01:04,533 --> 00:01:09,776 这就等于49 49 00:01:09,776 --> 00:01:11,800 49+16 50 00:01:11,800 --> 00:01:18,553 49+10=59，加上6等于 51 00:01:18,553 --> 00:01:21,107 65. 所以这是根号65 52 00:01:21,107 --> 00:01:25,705 让我写下：根号65 53 00:01:25,705 --> 00:01:28,818 这是黄色不同的阴影--因此我们有一个数的平方是等于 54 00:01:28,818 --> 00:01:33,533 65。我做得对吗？49+10=59，加上另外的6 55 00:01:33,533 --> 00:01:37,600 等于65，或者我们能说h等于，如果我们把两边的平方 56 00:01:37,600 --> 00:01:39,200 开方 57 00:01:39,200 --> 00:01:42,933 65的平方根，而且我们真的不能把它化简了 58 00:01:42,933 --> 00:01:44,699 这是13 59 00:01:44,699 --> 00:01:47,463 这跟13乘以5一样，他们都不能完全平方 60 00:01:50,388 --> 00:01:51,804 它们都是素数 所以你不能再化简它们 61 00:01:51,804 --> 00:01:55,467 这就等于 62 00:01:55,467 --> 00:02:02,114 现在让我们找，让我们这个角的的三角函数。 假设这个角叫做Θ 63 00:02:05,457 --> 00:02:06,533 所以每当你做它 64 00:02:06,533 --> 00:02:09,467 你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用。 65 00:02:09,467 --> 00:02:11,714 soh cah toa 66 00:02:11,714 --> 00:02:13,120 soh 67 00:02:13,120 --> 00:02:16,464 soh cah toa。我有些模糊的记忆 68 00:02:16,464 --> 00:02:18,786 从我的 69 00:02:18,786 --> 00:02:21,293 三角学老师，也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于 70 00:02:21,293 --> 00:02:23,867 一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的，但它是一个非常有用的 71 00:02:26,123 --> 00:02:27,564 助记符，这样我们可以应用"soh cah toa"。 72 00:02:27,564 --> 00:02:31,046 假设我们要找余弦值。我们想要找角的余弦值。 73 00:02:34,436 --> 00:02:37,965 我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！" 74 00:02:37,965 --> 00:02:40,800 所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值， 75 00:02:40,800 --> 00:02:43,027 "cah"这部分告诉我们， 76 00:02:43,027 --> 00:02:46,371 余弦值是 邻边比斜边 77 00:02:46,371 --> 00:02:51,433 余弦值等于邻边 78 00:02:51,433 --> 00:02:55,798 现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？ 79 00:02:55,798 --> 00:02:57,702 我们都知道，斜边 80 00:02:57,702 --> 00:03:00,767 我们知道，斜边是这条 81 00:03:00,767 --> 00:03:04,761 所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边 82 00:03:04,761 --> 00:03:07,133 不是斜边，是4 83 00:03:07,133 --> 00:03:10,473 所以邻边在这里，这条是 84 00:03:10,473 --> 00:03:14,374 这恰好是靠近角的旁边，这是构成这个三角形的一条边之一 85 00:03:15,754 --> 00:03:17,133 这是4 86 00:03:17,133 --> 00:03:21,108 斜边我们已经知道了是 根号65，因此是 87 00:03:21,108 --> 00:03:25,380 4比 88 00:03:25,380 --> 00:03:29,142 有时候人们会希望你把分母有理化，意思是他们不喜欢 89 00:03:29,142 --> 00:03:32,625 分母是一个无理数，就象根号65一样 90 00:03:35,227 --> 00:03:39,359 如果他们-如果你想重写使它 91 00:03:39,359 --> 00:03:41,634 分母里没有无理数，你可以乘以分子和分母 92 00:03:41,634 --> 00:03:43,306 用根号65 93 00:03:43,306 --> 00:03:45,094 这显然不会更改数字，因为我们乘以它东西到其本身，所以我们 94 00:03:48,122 --> 00:03:49,111 把用1乘以这个数字。这不会改变数，而且至少它可以去除 95 00:03:52,780 --> 00:03:54,127 分母中的无理数，所以分子变成 96 00:03:54,127 --> 00:03:57,800 4乘以 根号65 97 00:03:57,800 --> 00:04:03,461 而且分母，根号65 乘以 根号65，等于65 98 00:04:03,461 --> 00:04:07,130 我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里 99 00:04:07,130 --> 00:04:09,777 现在让我们来做其他三角函数 100 00:04:09,777 --> 00:04:12,401 或者其他重要的三角函数。将来我们将要学很多这些 101 00:04:14,399 --> 00:04:15,443 但它们都是从这些中延伸出来的 102 00:04:15,443 --> 00:04:19,733 因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa 103 00:04:19,733 --> 00:04:25,474 soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边 104 00:04:25,474 --> 00:04:29,200 正弦值等于 105 00:04:29,200 --> 00:04:31,372 对边比斜边。正弦值是对边比斜边 106 00:04:31,372 --> 00:04:34,390 因此，哪条是这个角的对边呢？ 107 00:04:34,390 --> 00:04:38,430 我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7 108 00:04:38,430 --> 00:04:41,200 所以，对边是7 109 00:04:41,200 --> 00:04:44,468 正好在这，这是对边 110 00:04:44,468 --> 00:04:47,800 然后在 111 00:04:47,800 --> 00:04:51,109 斜边，它是对边比斜边，斜边是 112 00:04:52,966 --> 00:04:55,133 再一次如果我们想使它有理化，我们可以乘以 113 00:04:55,133 --> 00:04:59,933 根号65分之根号65 114 00:04:59,933 --> 00:05:04,298 然后分子，我们会得到7根号65，在分母我们得到 115 00:05:04,298 --> 00:05:07,966 65 116 00:05:07,966 --> 00:05:10,474 现在让我们来做正切值 117 00:05:10,474 --> 00:05:12,796 让我们来做正切值 118 00:05:12,796 --> 00:05:14,793 因此，如果我问你正切值 119 00:05:14,793 --> 00:05:17,394 θ的正切值 120 00:05:17,394 --> 00:05:20,784 再一次回到soh cah 121 00:05:20,784 --> 00:05:23,106 toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值 122 00:05:23,106 --> 00:05:24,800 它告诉我们 123 00:05:24,800 --> 00:05:27,053 它告诉我们 124 00:05:27,053 --> 00:05:29,867 正切值等于对边 125 00:05:29,867 --> 00:05:33,137 比 126 00:05:33,137 --> 00:05:35,867 对边比邻边 127 00:05:35,867 --> 00:05:38,709 所以对这个角来说 128 00:05:38,709 --> 00:05:41,124 我们已经找出了对边，是7，它对着7这条边 129 00:05:41,124 --> 00:05:42,533 7 130 00:05:42,533 --> 00:05:46,372 所以，是7 131 00:05:46,372 --> 00:05:48,200 嗯，4是邻边 132 00:05:48,200 --> 00:05:51,295 这个4是邻边，所以邻边是4 133 00:05:51,295 --> 00:05:54,330 因此是7 134 00:05:54,330 --> 00:05:56,133 我们完成了 135 00:05:56,133 --> 00:05:59,375 我们找出了所有三角形内θ的所有比率。让我们做另一题 136 00:06:00,416 --> 00:06:02,719 让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过 137 00:06:02,719 --> 00:06:06,434 x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点 138 00:06:06,434 --> 00:06:08,431 假设 139 00:06:08,431 --> 00:06:10,799 假设，让我画另一个直角三角形 140 00:06:10,799 --> 00:06:13,772 这是另一个直角三角形 141 00:06:13,772 --> 00:06:17,533 我们正解决的一切题目 142 00:06:17,533 --> 00:06:21,109 假设，斜边 143 00:06:21,109 --> 00:06:26,357 的长度是4 144 00:06:26,357 --> 00:06:31,790 假设这条边的长度将会是2根号3 145 00:06:31,790 --> 00:06:33,462 我们能证明这个结果 146 00:06:33,462 --> 00:06:36,467 如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来，2乘以 147 00:06:38,803 --> 00:06:42,471 加上2的平方等于 148 00:06:42,471 --> 00:06:46,467 这是 149 00:06:46,467 --> 00:06:49,763 4乘以3加4 150 00:06:49,763 --> 00:06:53,478 这将会等于12加上4 等于16，16确实是 151 00:06:53,478 --> 00:06:57,800 4的平方，因此这真的等于4的平方 152 00:06:57,800 --> 00:07:01,790 它等于4的平方，它满足勾股定理 153 00:07:01,790 --> 00:07:06,133 如果你记得你在30，60，90三角形中，你可能会 154 00:07:07,781 --> 00:07:11,450 学习到几何，你可能会认出这个 155 00:07:11,450 --> 00:07:13,133 是一个30，60，90度三角形，这个是直角 156 00:07:13,133 --> 00:07:15,867 我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形 157 00:07:15,867 --> 00:07:20,366 这里的这个是30度的角 158 00:07:20,366 --> 00:07:23,385 然后这个角， 159 00:07:23,385 --> 00:07:26,125 是60度角 160 00:07:26,125 --> 00:07:27,797 它们是30 60 90 因为 161 00:07:27,797 --> 00:07:31,791 30度角所对的边=斜边的一半 162 00:07:31,791 --> 00:07:36,800 60度角的对边比另一条边的值是√3 163 00:07:36,800 --> 00:07:38,432 不是比斜边 164 00:07:38,432 --> 00:07:40,159 因此我们不准备，这个的目的不是复习30 60 90三角形 165 00:07:43,415 --> 00:07:46,933 让我们真正地找三角形不同角的比值 166 00:07:46,933 --> 00:07:51,295 因此如果我问你 167 00:07:51,295 --> 00:07:54,639 什么是30度角的正弦值 168 00:07:54,639 --> 00:07:58,447 记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足 169 00:07:58,447 --> 00:08:01,698 当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题，我们 170 00:08:01,698 --> 00:08:05,135 将来我们将会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值 171 00:08:05,135 --> 00:08:09,035 这里的这个角是30度，因此我能用这个直角 172 00:08:09,035 --> 00:08:12,133 因此我们只需要记得 soh cah toa 173 00:08:12,133 --> 00:08:17,116 重写它， 174 00:08:17,116 --> 00:08:22,782 正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边 175 00:08:22,782 --> 00:08:26,358 30度的正弦值是对边 176 00:08:26,358 --> 00:08:30,723 对边是2 177 00:08:30,723 --> 00:08:32,395 比斜边。斜边是4 178 00:08:32,395 --> 00:08:35,646 这是4分之二，也就等于二分之一 179 00:08:35,646 --> 00:08:40,800 30度的正弦值，你会看见这总是等于 180 00:08:40,800 --> 00:08:44,144 现在，什么是 181 00:08:44,144 --> 00:08:46,867 什么是余弦值 182 00:08:46,867 --> 00:08:50,135 再一次回到 soh cah toa 183 00:08:50,135 --> 00:08:52,643 cah告诉我们怎样做余弦值。余弦值是邻边比斜边 184 00:08:56,033 --> 00:08:59,051 因此，对于30度角来说，它的邻边是这条 185 00:08:59,051 --> 00:09:01,791 邻边是正好与它相邻 186 00:09:01,791 --> 00:09:05,467 不是斜边 187 00:09:05,467 --> 00:09:09,129 是邻边比斜边，因此是2 188 00:09:09,129 --> 00:09:13,633 邻边 189 00:09:13,633 --> 00:09:16,977 或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2，是根号3 190 00:09:16,977 --> 00:09:20,646 除以2 191 00:09:20,646 --> 00:09:22,782 最后我们做 192 00:09:22,782 --> 00:09:27,800 30度角的正切值 193 00:09:27,800 --> 00:09:30,305 我们回到soh cah toa 194 00:09:30,305 --> 00:09:31,699 soh cah toa 195 00:09:31,699 --> 00:09:34,800 toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边 196 00:09:34,800 --> 00:09:38,804 你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值 197 00:09:38,804 --> 00:09:42,101 30度角的正切值，对边是2 198 00:09:42,101 --> 00:09:46,200 对边是2，邻边是2根号3，它正好与它的邻边相邻 199 00:09:46,200 --> 00:09:48,045 它 200 00:09:48,045 --> 00:09:49,439 邻边的意思是旁边 201 00:09:49,439 --> 00:09:52,039 因此2根号3 202 00:09:52,039 --> 00:09:54,454 这就等于 203 00:09:54,454 --> 00:09:56,776 抵消两个2，得出根号3分之1 204 00:09:56,776 --> 00:10:00,723 或者我们可以同时用根号3 乘以分子和分母 205 00:10:00,723 --> 00:10:05,367 因此，我们有 206 00:10:05,367 --> 00:10:08,804 因此这分子将会等于根号3，然后分母等于 207 00:10:12,473 --> 00:10:15,800 3，因此我们已经使 3分之根号3 208 00:10:15,800 --> 00:10:17,442 十分公平 209 00:10:17,442 --> 00:10:20,693 现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率 210 00:10:20,693 --> 00:10:22,457 因为我们已经画好了 211 00:10:22,457 --> 00:10:28,328 因此什么是 212 00:10:28,328 --> 00:10:30,166 什么是60度角的正弦值，我想你现在已经掌握诀窍了 213 00:10:30,166 --> 00:10:34,253 正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来。从60度角看那 214 00:10:34,253 --> 00:10:36,668 哪条是对边 215 00:10:36,668 --> 00:10:39,315 就是对着2根号3，因此对边是 2根号3 216 00:10:42,566 --> 00:10:45,306 而且从60度角，邻边是 对不起 217 00:10:45,306 --> 00:10:47,999 应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂 218 00:10:47,999 --> 00:10:50,507 因此它是对边比斜边 219 00:10:50,507 --> 00:10:54,315 是2根号3 比4，4是斜边 220 00:10:54,315 --> 00:10:59,981 因此它等于，简化就是2分之根号3 221 00:10:59,981 --> 00:11:05,507 60度的余弦值是多少， 222 00:11:05,507 --> 00:11:10,244 因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边 223 00:11:10,244 --> 00:11:13,667 邻边是与60度角相邻的两条边，因此它是2 224 00:11:13,667 --> 00:11:17,907 比斜边4 225 00:11:17,907 --> 00:11:20,972 因此这等于 226 00:11:20,972 --> 00:11:24,176 最后 227 00:11:24,176 --> 00:11:27,984 什么是正切值， 228 00:11:27,984 --> 00:11:32,349 好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边 229 00:11:32,349 --> 00:11:34,671 60度的对边是 230 00:11:34,671 --> 00:11:36,400 2根号3 231 00:11:36,400 --> 00:11:38,000 2根号3 232 00:11:38,000 --> 00:11:39,919 然后邻边是 233 00:11:39,919 --> 00:11:42,733 邻边 234 00:11:42,733 --> 00:11:44,800 60度的邻边是2 235 00:11:44,800 --> 00:11:48,650 因此它的对边比邻边 236 00:11:48,650 --> 00:11:52,644 2根号3 比2，等于 237 00:11:52,644 --> 00:11:54,641 然后我只是想--看看它们之间的关系 238 00:11:54,641 --> 00:11:57,984 30度的正弦值等于60度的余弦值。 30度的余弦值等于60度的正弦值。 239 00:12:01,333 --> 00:12:03,966 然后这些东西都和对方相反，我想如果你想想这个三角形 240 00:12:05,635 --> 00:12:07,105 它将会言之有理地解释原因。我们将会继续延伸这个，和给你更多的练习 241 00:12:07,105 --> 00:12:08,461 在接下来的一些视频中。