WEBVTT

00:00:00.800 --> 00:00:03.017
让我们来做大量的习题

00:00:03.017 --> 00:00:07.036
只是想确保我们把基本三角函数掌握得很好

00:00:07.036 --> 00:00:11.447
让我们来构思一些直角三角形

00:00:11.447 --> 00:00:13.668
让我们来构思些直角三角形

00:00:13.668 --> 00:00:15.186
而且我想把它解释得十分清楚

00:00:15.186 --> 00:00:18.042
目前为止，它们只适用于直角三角形

00:00:18.042 --> 00:00:23.475
所以如果你正在找一些非直角三角形里的角的三角函数

00:00:23.475 --> 00:00:25.704
我们将看到 必须要构建直角三角形

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
但现在我们只集中注意力在直角三角形

00:00:27.867 --> 00:00:31.344
因此我们说，我有一个三角形

00:00:31.344 --> 00:00:33.897
而且假设这里的长度是7

00:00:33.897 --> 00:00:37.757
也假设，这条边的长度

00:00:37.757 --> 00:00:39.452
假设是4

00:00:39.452 --> 00:00:42.516
让我们找出这里的斜边将会是多少

00:00:42.516 --> 00:00:45.720
因此我们知道 让我们把斜边叫做“h”

00:00:45.720 --> 00:00:52.200
我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方

00:00:52.200 --> 00:00:55.194
这从勾股定理中来

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
斜边的平方等于

00:00:57.469 --> 00:01:01.974
其他两条边的平方的总和

00:01:01.974 --> 00:01:04.533
h的平方 = 7的平方 + 4的平方

00:01:04.533 --> 00:01:09.776
这就等于49+16

00:01:09.776 --> 00:01:11.800
49+16

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
49+10=59，加上6等于65

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
所以这是√65 这是 h平方

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
让我写下：h平方 - 这是不同的阴影的黄色

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
因此我们有一个数的平方是等于65

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
我做得对吗？49+10=59，加上另外的6等于65

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
或者我们能说h等于，如果我们把两边的开方

00:01:37.600 --> 00:01:39.200
开方

00:01:39.200 --> 00:01:42.933
65的平方根，而且我们真的不能把它化简了

00:01:42.933 --> 00:01:44.699
这是13

00:01:44.699 --> 00:01:47.463
这跟13乘以5一样

00:01:47.463 --> 00:01:50.388
他们都不能完全平方

00:01:50.388 --> 00:01:51.804
它们都是素数 所以你不能再化简它们

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
这就等于65的平方根

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
现在让我们找，让我们这个角的的三角函数

00:02:02.114 --> 00:02:05.457
假设这个角叫做Θ

00:02:05.457 --> 00:02:06.533
所以每当你做它

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用

00:02:09.467 --> 00:02:11.714
soh cah toa

00:02:11.714 --> 00:02:13.120
soh

00:02:13.120 --> 00:02:16.464
soh cah toa。我有些模糊的记忆

00:02:16.464 --> 00:02:18.786
从我的三角学老师

00:02:18.786 --> 00:02:21.293
也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于

00:02:21.293 --> 00:02:23.867
一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的

00:02:23.867 --> 00:02:26.123
但它是一个非常有用的助记符

00:02:26.123 --> 00:02:27.564
这样我们可以应用"soh cah toa"

00:02:27.564 --> 00:02:31.046
假设我们要找余弦值

00:02:31.046 --> 00:02:34.436
我们想要找角的余弦值

00:02:34.436 --> 00:02:37.965
我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！"

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
"cah"这部分告诉我们

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
余弦值是 邻边比斜边

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
余弦值等于邻边

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？

00:02:55.798 --> 00:02:57.702
我们都知道，斜边

00:02:57.702 --> 00:03:00.767
我们知道，斜边是这条

00:03:00.767 --> 00:03:04.761
所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边

00:03:04.761 --> 00:03:07.133
不是斜边，是4

00:03:07.133 --> 00:03:10.473
所以邻边在这里，这条是

00:03:10.473 --> 00:03:14.374
这恰好是靠近角的旁边

00:03:14.374 --> 00:03:15.754
这是构成这个三角形的一条边之一

00:03:15.754 --> 00:03:17.133
这是4

00:03:17.133 --> 00:03:21.108
斜边我们已经知道了是 √65

00:03:21.108 --> 00:03:25.380
因此是4除以√65

00:03:25.380 --> 00:03:29.142
有时候人们会希望你把分母有理化，意思是

00:03:29.142 --> 00:03:32.625
他们不喜欢分母是一个无理数

00:03:32.625 --> 00:03:35.227
就象√65一样

00:03:35.227 --> 00:03:39.359
如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数

00:03:39.359 --> 00:03:41.634
你可以乘以分子和分母

00:03:41.634 --> 00:03:43.306
用√65

00:03:43.306 --> 00:03:45.094
这显然不会更改数字

00:03:45.094 --> 00:03:48.122
因为我们上下乘以同样的数

00:03:48.122 --> 00:03:49.111
所以我们把用1乘以这个数字

00:03:49.111 --> 00:03:52.780
这不会改变数，而且至少它可以去除分母中的无理数

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
所以分子变成

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
4x √65

00:03:57.800 --> 00:04:03.461
而且分母，√65 乘以 √65，等于65

00:04:03.461 --> 00:04:07.130
我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里

00:04:07.130 --> 00:04:09.777
现在让我们来做其他三角函数

00:04:09.777 --> 00:04:12.401
或者其他重要的三角函数

00:04:12.401 --> 00:04:14.399
将来我们将要学很多这些

00:04:14.399 --> 00:04:15.443
但它们都是从这些中延伸出来的

00:04:15.443 --> 00:04:19.733
因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa

00:04:19.733 --> 00:04:25.474
soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边

00:04:25.474 --> 00:04:29.200
正弦值等于对边比斜边

00:04:29.200 --> 00:04:31.372
正弦值是对边比斜边

00:04:31.372 --> 00:04:34.390
因此，哪条是这个角的对边呢？

00:04:34.390 --> 00:04:38.430
我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7

00:04:38.430 --> 00:04:41.200
所以，对边是7

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
正好在这，这是对边

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
然后在斜边，它是对边比斜边

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
斜边是√65

00:04:51.109 --> 00:04:52.966
65的平方根

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
再一次如果我们想使它有理化

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
我们可以乘以√65分之√65

00:04:59.933 --> 00:05:04.298
然后分子，我们会得到7√65

00:05:04.298 --> 00:05:07.966
在分母我们得到65

00:05:07.966 --> 00:05:10.474
现在让我们来做正切值

00:05:10.474 --> 00:05:12.796
让我们来做正切值

00:05:12.796 --> 00:05:14.793
因此，如果我问你正切值

00:05:14.793 --> 00:05:17.394
θ的正切值

00:05:17.394 --> 00:05:20.784
再一次回到soh cah

00:05:20.784 --> 00:05:23.106
toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值

00:05:23.106 --> 00:05:24.800
它告诉我们

00:05:24.800 --> 00:05:27.053
它告诉我们

00:05:27.053 --> 00:05:29.867
正切值等于对边

00:05:29.867 --> 00:05:33.137
等于对边比

00:05:33.137 --> 00:05:35.867
对边比邻边

00:05:35.867 --> 00:05:38.709
所以对这个角来说 我们已经找出了对边

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
是7，它对着7

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
这条对边是7

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
所以，是7

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
嗯，4是邻边

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
这个4是邻边，所以邻边是4

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
因此是7比4

00:05:54.330 --> 00:05:56.133
我们完成了

00:05:56.133 --> 00:05:59.375
我们找出了所有三角形内θ的所有比率

00:05:59.375 --> 00:06:00.416
让我们做另一题

00:06:00.416 --> 00:06:02.719
让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过

00:06:02.719 --> 00:06:06.434
x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
假设

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
假设，让我画另一个直角三角形

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
这是另一个直角三角形

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
我们正解决的一切题目

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
假设，斜边的长度是4

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
假设这条边的长度将会是2

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
假设这条边的长度将会是2√3

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
我们能证明这个结果

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
2乘以3的平方根之积的平方

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
加上2的平方等于

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
这是2 这将是4x3

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
4x3+4

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
这将会=12+4 = 16

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
16确实是4的平方，因此这真的等于4的平方

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
它等于4的平方，它满足勾股定理

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
如果你记得你在30，60，90三角形中，

00:07:06.133 --> 00:07:07.781
你可能会学习到几何

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
你可能会认出这个是一个30，60，90度三角形

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
这个是直角

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
这里的这个是30度的角

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
然后这个角

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
是60度角

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
它们是30 60 90 因为

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
30度角所对的边=斜边的一半

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
60度角的对边比另一条边的值是√3

00:07:36.800 --> 00:07:38.432
不是比斜边

00:07:38.432 --> 00:07:40.159
因此我们不准备

00:07:40.159 --> 00:07:43.415
这个的目的不是复习30 60 90三角形 尽管我刚做过

00:07:43.415 --> 00:07:46.933
让我们真正地找三角形不同角的比值

00:07:46.933 --> 00:07:51.295
因此如果我问你

00:07:51.295 --> 00:07:54.639
什么是30度角的正弦值

00:07:54.639 --> 00:07:58.447
记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足

00:07:58.447 --> 00:08:01.698
当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题

00:08:01.698 --> 00:08:05.135
我们将来会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
这里的这个角是30度，因此我能用这个直角

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
因此我们只需要记得 soh cah toa

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
重写它 soh cah toa

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
30度的正弦值是对边

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
对边是2比斜边

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
斜边是4

00:08:32.395 --> 00:08:35.646
这是4分之二，也就等于二分之一

00:08:35.646 --> 00:08:40.800
30度的正弦值，你会看见这总是等于

00:08:40.800 --> 00:08:44.144
现在，什么是

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
什么是余弦值

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
再一次回到 soh cah toa

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
cah告诉我们怎样做余弦值

00:08:52.643 --> 00:08:56.033
余弦值是邻边比斜边

00:08:56.033 --> 00:08:59.051
因此，对于30度角来说，它的邻边是这条

00:08:59.051 --> 00:09:01.791
邻边是正好与它相邻

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
不是斜边 是邻边比斜边

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
因此是2x√3

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
邻边除以斜边 除以4

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
是√3/2

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
最后我们做正切值

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
30度角的

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
我们回到soh cah toa

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
soh cah toa

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
30度角的正切值，对边是2

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
对边是2，邻边是2√3

00:09:46.200 --> 00:09:48.045
它正好与它的邻边相邻

00:09:48.045 --> 00:09:49.439
邻边的意思是旁边

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
因此2√3

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
这就等于抵消两个2

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
得出1/√3

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
或者我们可以同时用√3乘以分子和分母

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
因此，我们有√3/√3

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
因此这分子将会等于√3

00:10:08.804 --> 00:10:12.473
然后分母等于3

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
因此我们已经使 √3/3

00:10:15.800 --> 00:10:17.442
十分公平

00:10:17.442 --> 00:10:20.693
现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率

00:10:20.693 --> 00:10:22.457
因为我们已经画好了

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
因此什么是什么是60度角的正弦值?

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
我想你现在已经掌握诀窍了

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
从60度角看那哪条是对边

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
就是对着2√3

00:10:39.315 --> 00:10:42.566
因此对边是 2√3

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
而且从60度角，邻边是 对不起

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
因此它是对边比斜边

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
是2√3 / 4，4是斜边

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
因此它等于，简化就是√3/2

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
60度的余弦值是多少

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
邻边是与60度角相邻的两条边

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
因此它是2比斜边4

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
因此这等于1/2

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
最后 什么是正切值？

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
什么是60度的正切值？

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
60度的对边是

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
2√3

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
2√3

00:11:38.000 --> 00:11:39.919
然后邻边是

00:11:39.919 --> 00:11:42.733
邻边是2

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
60度的邻边是2

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
因此它的对边比邻边 2√3/2

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
等于√3

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
然后我只是想--看看它们之间的关系

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
30度的正弦值等于60度的余弦值

00:11:57.984 --> 00:12:01.333
30度的余弦值等于60度的正弦值。

00:12:01.333 --> 00:12:03.966
然后这些东西都和对方相反

00:12:03.966 --> 00:12:05.635
我想如果你想想这个三角形

00:12:05.635 --> 00:12:07.105
它将会言之有理地解释原因

00:12:07.105 --> 00:12:08.461
我们将会继续延伸这个

00:12:08.461 --> 99:59:59.999
并且给你更多的练习在接下来的一些视频中