让我们来做大量的习题 只是想确保我们把基本三角函数掌握得很好 让我们来构思一些直角三角形 让我们来构思些直角三角形 而且我想把它解释得十分清楚 目前为止，它们只适用于直角三角形 所以如果你正在找一些非直角三角形里的角的三角函数 我们将看到 必须要构建直角三角形 但现在我们只集中注意力在直角三角形 因此我们说，我有一个三角形 而且假设这里的长度是7 也假设，这条边的长度 假设是4 让我们找出这里的斜边将会是多少 因此我们知道 让我们把斜边叫做“h” 我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方 这从勾股定理中来 斜边的平方等于 其他两条边的平方的总和 h的平方 = 7的平方 + 4的平方 这就等于49+16 49+16 49+10=59，加上6等于65 所以这是√65 这是 h平方 让我写下：h平方 - 这是不同的阴影的黄色 因此我们有一个数的平方是等于65 我做得对吗？49+10=59，加上另外的6等于65 或者我们能说h等于，如果我们把两边的开方 开方 65的平方根，而且我们真的不能把它化简了 这是13 这跟13乘以5一样 他们都不能完全平方 它们都是素数 所以你不能再化简它们 这就等于65的平方根 现在让我们找，让我们这个角的的三角函数 假设这个角叫做Θ 所以每当你做它 你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用 soh cah toa soh soh cah toa。我有些模糊的记忆 从我的三角学老师 也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于 一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的 但它是一个非常有用的助记符 这样我们可以应用"soh cah toa" 假设我们要找余弦值 我们想要找角的余弦值 我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！" 所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值 "cah"这部分告诉我们 余弦值是 邻边比斜边 余弦值等于邻边 现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？ 我们都知道，斜边 我们知道，斜边是这条 所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边 不是斜边，是4 所以邻边在这里，这条是 这恰好是靠近角的旁边 这是构成这个三角形的一条边之一 这是4 斜边我们已经知道了是 √65 因此是4除以√65 有时候人们会希望你把分母有理化，意思是 他们不喜欢分母是一个无理数 就象√65一样 如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数 你可以乘以分子和分母 用√65 这显然不会更改数字 因为我们上下乘以同样的数 所以我们把用1乘以这个数字 这不会改变数，而且至少它可以去除分母中的无理数 所以分子变成 4x √65 而且分母，√65 乘以 √65，等于65 我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里 现在让我们来做其他三角函数 或者其他重要的三角函数 将来我们将要学很多这些 但它们都是从这些中延伸出来的 因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边 正弦值等于对边比斜边 正弦值是对边比斜边 因此，哪条是这个角的对边呢？ 我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7 所以，对边是7 正好在这，这是对边 然后在斜边，它是对边比斜边 斜边是√65 65的平方根 再一次如果我们想使它有理化 我们可以乘以√65分之√65 然后分子，我们会得到7√65 在分母我们得到65 现在让我们来做正切值 让我们来做正切值 因此，如果我问你正切值 θ的正切值 再一次回到soh cah toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值 它告诉我们 它告诉我们 正切值等于对边 等于对边比 对边比邻边 所以对这个角来说 我们已经找出了对边 是7，它对着7 这条对边是7 所以，是7 嗯，4是邻边 这个4是邻边，所以邻边是4 因此是7比4 我们完成了 我们找出了所有三角形内θ的所有比率 让我们做另一题 让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过 x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点 假设 假设，让我画另一个直角三角形 这是另一个直角三角形 我们正解决的一切题目 假设，斜边的长度是4 假设这条边的长度将会是2 假设这条边的长度将会是2√3 我们能证明这个结果 如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来 2乘以3的平方根之积的平方 加上2的平方等于 这是2 这将是4x3 4x3+4 这将会=12+4 = 16 16确实是4的平方，因此这真的等于4的平方 它等于4的平方，它满足勾股定理 如果你记得你在30，60，90三角形中， 你可能会学习到几何 你可能会认出这个是一个30，60，90度三角形 这个是直角 我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形 这里的这个是30度的角 然后这个角 是60度角 它们是30 60 90 因为 30度角所对的边=斜边的一半 60度角的对边比另一条边的值是√3 不是比斜边 因此我们不准备 这个的目的不是复习30 60 90三角形 尽管我刚做过 让我们真正地找三角形不同角的比值 因此如果我问你 什么是30度角的正弦值 记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足 当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题 我们将来会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值 这里的这个角是30度，因此我能用这个直角 因此我们只需要记得 soh cah toa 重写它 soh cah toa 正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边 30度的正弦值是对边 对边是2比斜边 斜边是4 这是4分之二，也就等于二分之一 30度的正弦值，你会看见这总是等于 现在，什么是 什么是余弦值 再一次回到 soh cah toa cah告诉我们怎样做余弦值 余弦值是邻边比斜边 因此，对于30度角来说，它的邻边是这条 邻边是正好与它相邻 不是斜边 是邻边比斜边 因此是2x√3 邻边除以斜边 除以4 或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2 是√3/2 最后我们做正切值 30度角的 我们回到soh cah toa soh cah toa toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边 你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值 30度角的正切值，对边是2 对边是2，邻边是2√3 它正好与它的邻边相邻 邻边的意思是旁边 因此2√3 这就等于抵消两个2 得出1/√3 或者我们可以同时用√3乘以分子和分母 因此，我们有√3/√3 因此这分子将会等于√3 然后分母等于3 因此我们已经使 √3/3 十分公平 现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率 因为我们已经画好了 因此什么是什么是60度角的正弦值? 我想你现在已经掌握诀窍了 正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来 从60度角看那哪条是对边 就是对着2√3 因此对边是 2√3 而且从60度角，邻边是 对不起 应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂 因此它是对边比斜边 是2√3 / 4，4是斜边 因此它等于，简化就是√3/2 60度的余弦值是多少 因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边 邻边是与60度角相邻的两条边 因此它是2比斜边4 因此这等于1/2 最后 什么是正切值？ 什么是60度的正切值？ 好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边 60度的对边是 2√3 2√3 然后邻边是 邻边是2 60度的邻边是2 因此它的对边比邻边 2√3/2 等于√3 然后我只是想--看看它们之间的关系 30度的正弦值等于60度的余弦值 30度的余弦值等于60度的正弦值。 然后这些东西都和对方相反 我想如果你想想这个三角形 它将会言之有理地解释原因 我们将会继续延伸这个 并且给你更多的练习在接下来的一些视频中