1
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
让我们来做大量的习题

2
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
只是想确保我们把基本三角函数掌握得很好

3
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
让我们来构思一些直角三角形

4
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
让我们来构思些直角三角形

5
00:00:13,668 --> 00:00:15,186
而且我想把它解释得十分清楚

6
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
目前为止，它们只适用于直角三角形

7
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
所以如果你正在找一些非直角三角形里的角的三角函数

8
00:00:23,475 --> 00:00:25,704
我们将看到 必须要构建直角三角形

9
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
但现在我们只集中注意力在直角三角形

10
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
因此我们说，我有一个三角形

11
00:00:31,344 --> 00:00:33,897
而且假设这里的长度是7

12
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
也假设，这条边的长度

13
00:00:37,757 --> 00:00:39,452
假设是4

14
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
让我们找出这里的斜边将会是多少

15
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
因此我们知道 让我们把斜边叫做“h”

16
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方

17
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
这从勾股定理中来

18
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
斜边的平方等于

19
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
其他两条边的平方的总和

20
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
h的平方 = 7的平方 + 4的平方

21
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
这就等于49+16

22
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
49+16

23
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49+10=59，加上6等于65

24
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
所以这是√65 这是 h平方

25
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
让我写下：h平方 - 这是不同的阴影的黄色

26
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
因此我们有一个数的平方是等于65

27
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
我做得对吗？49+10=59，加上另外的6等于65

28
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
或者我们能说h等于，如果我们把两边的开方

29
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
开方

30
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
65的平方根，而且我们真的不能把它化简了

31
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
这是13

32
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
这跟13乘以5一样

33
00:01:47,463 --> 00:01:50,388
他们都不能完全平方

34
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
它们都是素数 所以你不能再化简它们

35
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
这就等于65的平方根

36
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
现在让我们找，让我们这个角的的三角函数

37
00:02:02,114 --> 00:02:05,457
假设这个角叫做Θ

38
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
所以每当你做它

39
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
你总是想要把它写下来--至少对我来说，写下来它起作用

40
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
soh cah toa

41
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
soh

42
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
soh cah toa。我有些模糊的记忆

43
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
从我的三角学老师

44
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
也许我已经在几本书里读过它了，我不知道 — — 你知道，关于

45
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的

46
00:02:23,867 --> 00:02:26,123
但它是一个非常有用的助记符

47
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
这样我们可以应用"soh cah toa"

48
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
假设我们要找余弦值

49
00:02:31,046 --> 00:02:34,436
我们想要找角的余弦值

50
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
我们想找角的余弦值，你说："soh cah toa ！"

51
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值

52
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
"cah"这部分告诉我们

53
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
余弦值是 邻边比斜边

54
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
余弦值等于邻边

55
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
现在，让我们看一遍 Θ ； 哪条是邻边？

56
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
我们都知道，斜边

57
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
我们知道，斜边是这条

58
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边

59
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
不是斜边，是4

60
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
所以邻边在这里，这条是

61
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
这恰好是靠近角的旁边

62
00:03:14,374 --> 00:03:15,754
这是构成这个三角形的一条边之一

63
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
这是4

64
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
斜边我们已经知道了是 √65

65
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
因此是4除以√65

66
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
有时候人们会希望你把分母有理化，意思是

67
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
他们不喜欢分母是一个无理数

68
00:03:32,625 --> 00:03:35,227
就象√65一样

69
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数

70
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
你可以乘以分子和分母

71
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
用√65

72
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
这显然不会更改数字

73
00:03:45,094 --> 00:03:48,122
因为我们上下乘以同样的数

74
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
所以我们把用1乘以这个数字

75
00:03:49,111 --> 00:03:52,780
这不会改变数，而且至少它可以去除分母中的无理数

76
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
所以分子变成

77
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
4x √65

78
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
而且分母，√65 乘以 √65，等于65

79
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
我们没有去掉无理数，它依然在那里，只是在分子那里

80
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
现在让我们来做其他三角函数

81
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
或者其他重要的三角函数

82
00:04:12,401 --> 00:04:14,399
将来我们将要学很多这些

83
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
但它们都是从这些中延伸出来的

84
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
因此让我们想Θ的符号是什么。再一次，用到 soh cah toa

85
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边

86
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
正弦值等于对边比斜边

87
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
正弦值是对边比斜边

88
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
因此，哪条是这个角的对边呢？

89
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
我们从它走向对面，它面对什么，它面对着7

90
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
所以，对边是7

91
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
正好在这，这是对边

92
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
然后在斜边，它是对边比斜边

93
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
斜边是√65

94
00:04:51,109 --> 00:04:52,966
65的平方根

95
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
再一次如果我们想使它有理化

96
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
我们可以乘以√65分之√65

97
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
然后分子，我们会得到7√65

98
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
在分母我们得到65

99
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
现在让我们来做正切值

100
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
让我们来做正切值

101
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
因此，如果我问你正切值

102
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
θ的正切值

103
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
再一次回到soh cah

104
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值

105
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
它告诉我们

106
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
它告诉我们

107
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
正切值等于对边

108
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
等于对边比

109
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
对边比邻边

110
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
所以对这个角来说 我们已经找出了对边

111
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
是7，它对着7

112
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
这条对边是7

113
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
所以，是7

114
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
嗯，4是邻边

115
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
这个4是邻边，所以邻边是4

116
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
因此是7比4

117
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
我们完成了

118
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
我们找出了所有三角形内θ的所有比率

119
00:05:59,375 --> 00:06:00,416
让我们做另一题

120
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
让我们做另一题。我将把它具体化，因为现在我们已经说过

121
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
x的正切值，θ的正切值。让我把题目弄得复杂点

122
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
假设

123
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
假设，让我画另一个直角三角形

124
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
这是另一个直角三角形

125
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
我们正解决的一切题目

126
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
假设，斜边的长度是4

127
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
假设这条边的长度将会是2

128
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
假设这条边的长度将会是2√3

129
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
我们能证明这个结果

130
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
如果你把这条边平方 所以你会有，让我把它写下来

131
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
2乘以3的平方根之积的平方

132
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
加上2的平方等于

133
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
这是2 这将是4x3

134
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4x3+4

135
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
这将会=12+4 = 16

136
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
16确实是4的平方，因此这真的等于4的平方

137
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
它等于4的平方，它满足勾股定理

138
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
如果你记得你在30，60，90三角形中，

139
00:07:06,133 --> 00:07:07,781
你可能会学习到几何

140
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
你可能会认出这个是一个30，60，90度三角形

141
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
这个是直角

142
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
我应该把它画出来，表示出这是一个直角三角形

143
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
这里的这个是30度的角

144
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
然后这个角

145
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
是60度角

146
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
它们是30 60 90 因为

147
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
30度角所对的边=斜边的一半

148
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
60度角的对边比另一条边的值是√3

149
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
不是比斜边

150
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
因此我们不准备

151
00:07:40,159 --> 00:07:43,415
这个的目的不是复习30 60 90三角形 尽管我刚做过

152
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
让我们真正地找三角形不同角的比值

153
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
因此如果我问你

154
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
什么是30度角的正弦值

155
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
记得30度是三角形的其中一个角，但它可以满足

156
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题

157
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
我们将来会有广泛的定义，但如果你说30度的正弦值

158
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
这里的这个角是30度，因此我能用这个直角

159
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
因此我们只需要记得 soh cah toa

160
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
重写它 soh cah toa

161
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边

162
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
30度的正弦值是对边

163
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
对边是2比斜边

164
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
斜边是4

165
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
这是4分之二，也就等于二分之一

166
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
30度的正弦值，你会看见这总是等于

167
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
现在，什么是

168
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
什么是余弦值

169
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
再一次回到 soh cah toa

170
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
cah告诉我们怎样做余弦值

171
00:08:52,643 --> 00:08:56,033
余弦值是邻边比斜边

172
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
因此，对于30度角来说，它的邻边是这条

173
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
邻边是正好与它相邻

174
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
不是斜边 是邻边比斜边

175
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
因此是2x√3

176
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
邻边除以斜边 除以4

177
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
或者如果我们简化它，我们用分子和分母同时除以2

178
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
是√3/2

179
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
最后我们做正切值

180
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
30度角的

181
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
我们回到soh cah toa

182
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
soh cah toa

183
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
toa 告诉我们怎样做正切值，是对边比邻边

184
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
你找到30度角，因为我们关注30度角的正切值

185
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
30度角的正切值，对边是2

186
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
对边是2，邻边是2√3

187
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
它正好与它的邻边相邻

188
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
邻边的意思是旁边

189
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
因此2√3

190
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
这就等于抵消两个2

191
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
得出1/√3

192
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
或者我们可以同时用√3乘以分子和分母

193
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
因此，我们有√3/√3

194
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
因此这分子将会等于√3

195
00:10:08,804 --> 00:10:12,473
然后分母等于3

196
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
因此我们已经使 √3/3

197
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
十分公平

198
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率

199
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
因为我们已经画好了

200
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
因此什么是什么是60度角的正弦值?

201
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
我想你现在已经掌握诀窍了

202
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
正弦值是 对边比邻边，soh从soh cah toa中来

203
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
从60度角看那哪条是对边

204
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
就是对着2√3

205
00:10:39,315 --> 00:10:42,566
因此对边是 2√3

206
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
而且从60度角，邻边是 对不起

207
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
应该是对边比斜边，不想把你弄糊涂

208
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
因此它是对边比斜边

209
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
是2√3 / 4，4是斜边

210
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
因此它等于，简化就是√3/2

211
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
60度的余弦值是多少

212
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边

213
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
邻边是与60度角相邻的两条边

214
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
因此它是2比斜边4

215
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
因此这等于1/2

216
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
最后 什么是正切值？

217
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
什么是60度的正切值？

218
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
好的，正切值，soh cah toa 正切值是对边比邻边

219
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
60度的对边是

220
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
2√3

221
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
2√3

222
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
然后邻边是

223
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
邻边是2

224
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
60度的邻边是2

225
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
因此它的对边比邻边 2√3/2

226
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
等于√3

227
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
然后我只是想--看看它们之间的关系

228
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
30度的正弦值等于60度的余弦值

229
00:11:57,984 --> 00:12:01,333
30度的余弦值等于60度的正弦值。

230
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
然后这些东西都和对方相反

231
00:12:03,966 --> 00:12:05,635
我想如果你想想这个三角形

232
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
它将会言之有理地解释原因

233
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
我们将会继续延伸这个

234
00:12:08,461 --> 99:59:59,999
并且给你更多的练习在接下来的一些视频中