WEBVTT 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Хајде да урадимо још тону примера, 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове. 00:00:11.447 --> 00:00:13.668 Конструишимо себи неке правоугле троуглове, 00:00:13.668 --> 00:00:15.186 и желим да будем веома јасан. 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао. 00:00:18.042 --> 00:00:23.475 Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу, 00:00:23.475 --> 00:00:25.704 видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове, 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада. 00:00:27.867 --> 00:00:31.344 Дакле, рецимо да имам троугао, 00:00:31.344 --> 00:00:33.897 где је, рецимо, ова дужина доле 7, 00:00:33.897 --> 00:00:37.757 и рецимо да је дужина ове странице овде горе, 00:00:37.757 --> 00:00:39.452 рецимо да је она 4. 00:00:39.452 --> 00:00:42.516 Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде. 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" - 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат, 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 знамо то из Питагорине теореме, 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 да је хипотренуза на квадрат једнака 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице. 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат. 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 Значи, ово је једнако 49 + 16, 00:01:09.776 --> 00:01:11.800 49 + 16, 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 49 + 10 је 59, + 6 је 65. 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 То је 65, дакле, ово h на квадрат, 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте - 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 значи, имамо h на квадрат да је једнако 65. 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65, 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране, 00:01:37.600 --> 00:01:39.200 квадратни корен 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште. 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 Ово је 13. 00:01:44.699 --> 00:01:47.463 Ово је исто што и 13 пута 5, 00:01:47.463 --> 00:01:50.388 оба ова нису идеални квадрати и 00:01:50.388 --> 00:01:51.804 оба су прости тако да не можете ово упростити више. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65. 00:01:55.467 --> 00:02:02.114 Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе. 00:02:02.114 --> 00:02:05.457 Назовимо тај угао горе тета. 00:02:05.457 --> 00:02:06.533 Дакле, шта год да радите 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати - 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 "сох-ках-тоа". 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 "сох"... 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 ..."сох-ках-тоа". Имам замагљена сећања 00:02:16.464 --> 00:02:18.786 на мог наставника тригонометрије. 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о 00:02:21.293 --> 00:02:23.867 некој индијанској принцези која се звала "сох-ках-тоа" или тако нешто, 00:02:23.867 --> 00:02:26.123 али је веома користан подсетник, 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 тако да можемо да применимо "сох-ках-тоа". 00:02:27.564 --> 00:02:31.046 Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус. 00:02:31.046 --> 00:02:34.436 Желимо да нађемо косинус нашег угла. 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-ках-тоа!" 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 Значи, "ках". "Ках" нам говори шта да радимо са косинусом, 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 "Ках" део нам каже 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 да је косинус наспрамна (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу. 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу. 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Па, знамо да је хипотенуза, 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 знамо да је хипотенуза ова страница овде. 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 да није хипотенуза, је ова 4. 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 Дакле, налегла страница овде, та страница је, 00:03:10.473 --> 00:03:14.374 она је буквално, одмах уз угао, 00:03:14.374 --> 00:03:15.754 она је једна од страница које формирају угао, 00:03:15.754 --> 00:03:17.133 то је 4 кроз хипотенузу. 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65, 00:03:21.108 --> 00:03:25.380 тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65. 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи 00:03:29.142 --> 00:03:32.625 да не желе да имају ирационалан број у имениоцу, 00:03:32.625 --> 00:03:35.227 као што је квадратни корен из 65, 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу, 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 можете да помножите бројилац и именилац 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 квадратним кореном из 65. 00:03:43.306 --> 00:03:45.094 Ово, јасно, неће променити број, 00:03:45.094 --> 00:03:48.122 зато што га множимо нечим кроз то исто, 00:03:48.122 --> 00:03:49.111 тако да множимо број са 1. 00:03:49.111 --> 00:03:52.780 То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу. 00:03:52.780 --> 00:03:54.127 Значи да бројилац постаје 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 4 пута квадратни корен из 65, 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције 00:04:09.777 --> 00:04:12.401 или бар остале, основне тригонометријске функције. 00:04:12.401 --> 00:04:14.399 Научићемо касније да их заправо, има тона, 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 али су оне све изведене из ових. 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-ках-тоа". 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 "Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом. 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Синус је једнак супротна кроз хипотенуза. 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 Синус је супротна кроз хипотенуза. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Па, за овај угао, која страница је супротна? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7. 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 Значи, супротна страница је 7. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 Ово, управо овде - то је супротна страница 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза. 00:04:47.800 --> 00:04:51.109 Хипотенуза је квадратни корен из 65. 00:04:51.109 --> 00:04:52.966 Квадратни корен из 65. 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 И још једном, када би хтели да рационализујемо ово, 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65, 00:05:04.298 --> 00:05:07.966 а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново. 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Сада, хајде да урадимо тангенс! 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Урадимо тангенс. 00:05:12.796 --> 00:05:14.793 Дакле, ако вам тражим тангенс 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 од - тангенс од тета, 00:05:17.394 --> 00:05:20.784 опет идемо назад на "сох-ках-тоа". 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 "Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом. 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 Говори нам... 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 Каже нам да је тангенс 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 једнак супротна кроз налегла, 00:05:29.867 --> 00:05:33.137 је једнак супротна кроз 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 супротна кроз налегла 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 да је 7. Отвара се ка 7. 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 Он је насупрот 7. 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла. 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 Па, ових 4 је налегла. 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4. 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 Значи, то је 7 кроз 4, 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 и завршили смо. 00:05:56.133 --> 00:05:59.375 Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један. 00:05:59.375 --> 00:06:00.416 Хајде да урадимо још један. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 "ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији. 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Рецимо... 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао. 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 То је други правоугли троугао овде. 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове. 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 Рецимо да хипотенуза има дужину 4, 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 рецимо да ова страница овде има дужину 2, 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3. 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 Можемо проверити да ли ово важи. 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то - 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 2 пута квадратни корен из 3 на квадрат 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 + 2 на квадрат, је једнако, чему? 00:06:42.471 --> 00:06:46.467 Ово је 2. Биће 4 пута 3. 00:06:46.467 --> 00:06:49.763 4 пута 3 + 4, 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат, 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему 00:07:01.790 --> 00:07:06.133 и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова 00:07:06.133 --> 00:07:07.781 које сте могли да научите у геометрији, 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао. 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 Ово овде је наш прав угао, 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 - требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао - 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 овај угао овде је наш угао од 30 степени 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 а затим овај угао овде, овај овде је 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 угао од 60 степени, 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 и то је 30 60 90 јер 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе, 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 која није хипотенуза. 00:07:38.432 --> 00:07:40.159 Дакле, то нам је рекло, ми нећемо... 00:07:40.159 --> 00:07:43.415 Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио. 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове. 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је... 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 Колики је синус од 30 степени? 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао. 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени, 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао. 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 И само треба да се сетимо "сох-ках-тоа" 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 Преписаћемо то, "сох-ках-тоа". 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна (оригинал: opposite) кроз хипотенузу. 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 Синус од 30 степени је супротна страница, 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу. 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 Хипотенуза је овде 4. 00:08:32.395 --> 00:08:35.646 То је 2/4 што је исто што и 1/2. 00:08:35.646 --> 00:08:40.800 Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2. 00:08:40.800 --> 00:08:44.144 Сада, колики је косинус? 00:08:44.144 --> 00:08:46.867 Колики је косинус од 30 степени? 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 Још једном се вратимо на "сох-ках-тоа" 00:08:50.135 --> 00:08:52.643 "Ках" нам говори шта треба да радимо са косинусом. 00:08:52.643 --> 00:08:56.033 Косинус је налегла (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу. 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла. 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред. 00:09:01.791 --> 00:09:05.467 Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза. 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 Значи, то је 2 квадратна корена из 3, 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4. 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2. 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 То је квадратни корен из 3 кроз 2. 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 И на крају, урадимо тангенс. 00:09:22.782 --> 00:09:27.800 Тангенс од 30 степени, 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 враћамо се на "сох-ках-тоа". 00:09:30.305 --> 00:09:31.699 "Сох-ках-тоа". 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 "Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла. 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30. 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 Тангенс од 30. Супротна је 2, 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3. 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 Она је непосредно поред. Она је налегла не њега. 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 Налегла значи тик уз. 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 Значи, 2 квадратна корена из 3. 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 дакле, ово је једнако... двојке се поништавају 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 1 кроз квадратни корен из 3 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3. 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3. 00:10:05.367 --> 00:10:08.804 И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда 00:10:08.804 --> 00:10:12.473 у имениоцу, овде ће бити само 3. 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3. 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 Довољно добро. 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени, 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 пошто смо га већ нацртали. 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени? 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 И надам се да хватате прикључак. 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 Синус је супротна кроз хипотенуза. "Сох" из "сох-ках-тоа". 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 За угао од 60 степени, која је страница супротна, 00:10:36.668 --> 00:10:39.315 она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3. 00:10:39.315 --> 00:10:42.566 Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3, 00:10:42.566 --> 00:10:45.306 и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините, 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним. 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 Значи, то је супротна кроз хипотенузу. 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза. 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2. 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени. 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 Па, сетите се "сох-ках-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза. 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени. 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4. 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 Значи, ово је једнако 1/2. 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 И онда, на крају, колики је тангенс? 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 Колики је тангенс од 60 степени? 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 Па, тангенс, "сох-ках-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла. 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 Супротна од 60 степени 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 је 2 квадратна корена из 3, 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 2 квадратна корена из 3, 00:11:38.000 --> 00:11:39.919 а налегла на угао, 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 налегла на угао је 2. 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 Налегла на 60 степени је 2. 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2, 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 што је једнако само квадратном корену из 3. 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 И само сам хтео да - погледајте како се ови односе - 00:11:54.641 --> 00:11:57.984 синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени. 00:11:57.984 --> 00:12:01.333 Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени. 00:12:01.333 --> 00:12:03.966 И затим, ови момци су инверзни један другом. 00:12:03.966 --> 00:12:05.635 И мислим да ако размислите мало о овом троуглу 00:12:05.635 --> 00:12:07.105 да ће почети да има смисла зашто је то тако. 00:12:07.105 --> 00:12:08.461 Прошириваћемо ово и 00:12:08.461 --> 00:12:10.900 дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.