1 supra 2
a lui 65
acesta este triunghiul dreptunghic
adică 2 ori radical din 3 (produsul dintre 2 şi radical din 3)
ambii factori sunt
are lungimea 2
cosinus
căutăm
de 30 de grade?
deşi doar am stabilit
este
este egal cu
ka
pentru unghiuri care nu fac parte din triunghiul dreptunghic, vom urmări să construim triunghiuri dreptunghice
plus 16
radical din 3
radical din 65
rădăcina pătrată (radical) a lui 65.
sau dacă altcineva te întreabă
supra
supra 4
supra cateta alăturată
supra ipotenuza cu lungimea 4
supra ipotenuză
supra ipotenuză.
supra radical din 3
să spunem că acestă catetă din acestă parte
tangenta
toa
va deveni de 4 ori 3
în ambele părţi
Hai să dăm mai multe exemple, doar aşa suntem mai siguri că
vom înţelege aceste funcţii trigonometrice.
Deci, hai să construim propriul nostru trinunghi dreptunghic.
Să construim propriul nostru triunghi dreptunghic şi îmi doresc să fie foarte clar modul de definire
mai departe vom lucra în triunghiul dreptunghic, deci dacă încerci să găseşti
funcţia trigonometrică
dar acum să ne concentrăm pe triunghiul dreptunghic.
Deci să zicem că avem un triunghi dreptunghic în care cateta de jos are lungimea 7
şi cealaltă catetă de sus are lungimea 4.
Să aflăm ce lungime are ipotenuza. Deci ştim că
- notăm ipotenuza cu "h"-
ştim că pătratul lui h este egal cu pătratul lui 7 plus pătratul lui 4, ştim acest lucru
din forma teoremei lui Pitagora.
Deci pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor celor două catete
aflate de o parte şi de alta a unghiului drept. Pătratul lui "h" este egal cu pătratul lui 7 plus pătratul lui 4.
Deci este egal cu 49
49 plus 16
49 plus zece este 59, plus 6 este
65. 65 este deci pătratul lui h,
deci pătratul lui h,
aici este o altă nuanţă de galben, deci pătratul ipotenuzei h este egal cu
65. Am făcut acest lucru corect? 49 plus 10 este este egal cu 59, plus 6
este egal cu 65, sau putem vedea că h este egal cu, dacă aplicăm rădăcina pătrată
rădăcina pătrată
rădăcina pătrată a lui 65. Şi putem intr-adevăr încerca să simplificăm totul
acesta este 13
aici 65 este acelaşi lucru cu produsul dintre 13 şi 5, ambii factori sunt pătrate perfecte
factori primi deci nu putem simplifica deloc
deci h este egal cu rădăcina pătrată
acum să găsim funcţiile trigonometrice pentru unghiul de sus, să notăm acest unghi cu teta.
Deci ori de căte ori scrii
totdeauna vrei să scrii jos - sau cel puţin pentru mine obişnuinţa este să scriu jos-
să spunem că vrem să găsim cosinusul, vrem să găsim cosinusul unghiului,
vrem să găsim cosinusul unghiului, poţi spune: "soh cah toa"
deci "cah" ne spune ce să facem cu cosinus,
partea "cah" ne spune
acest cosinus este raportul dintre cateta alăturată şi ipotenuză
cosinusul este egal cu cateta alăturată
deci să privim peste unghiul teta; care este cateta alăturată?
ştim clar care este ipotenuza
ştim că ipotenuza este opusă unghiului drept adică este in această parte
deci nu poate fi pe acestă parte. Doar cealaltă parte este adiacentă
nu este ipotenuza, este latura cu lungimea 4.
Deci partea adiacentă aici, acestă parte este,
este chiar lângă unghi, este una dintre laturile care formează unghiul
este latura cu lungimea 4
Ipotenuza deja ştim, este rădăcina pătrată a lui 65, deci este 4
supra
Şi căteodată oamenii vor să raţionalizeze numitorul ceea ce înseamnă că nu le place
să aibă un număr iraţional la numitor, ca rădăcina pătrată a lui 65
şi dacă faci ca ei - dacă vrei să rescrii fără
numărul iraţional la numitor, poţi multiplica numărătorul şi numitorul
cu rădăcina pătrată a lui 65.
Acest lucru sigur nu va schimba numărul, deoarece noi multiplicăm cu ceva împărţit la el însuşi, deci noi
multiplicăm numărul cu 1. Acest lucru nu schimbă numărul iniţial, dar rămânem fără
numărul iraţional la numitor. Deci numărătorul devine
produsul dintre 4 şi rădăcina pătrată a lui 65 (4 ori radical din 65)
şi numitorul devine produsul dintre rădăcina pătrată a lui 65 şi rădăcina pătrată a lui 65 (produsul dintre radical din 65 şi radical din 65)
Noi nu am scăpat de numărul iraţional, este încă acolo, dar acum este la numărător.
Acum să calculăm altă funcţie trigonometrică
sinus
cateta opusă supra ipotenuză
deci pentru acesta
cateta opusă care este 7
deci partea opusă este 7 aceasta este
chiar aici este cateta opusă
şi apoi
ipotenuza este radical din 65
şi încă o dată, dacă vrem să raţionalizăm numitorul, multiplicăm fracţia cu radical din 65
supra radical din 65
numărătorul devine 7 înmulţit cu radical din 65 şi numitorul devine
65 din nou
să învăţăm despre tangentă
ce ne spune tangenta
deci dacă vă întreb despre tangentă
"toa" ne spune ce face tangenta
dacă ne spune
dacă ne spune că acestă tangentă
dacă este egală cu cateta opusă supra cateta alăturată unghiului este egală cu cateta opusă
supra
cateta alăturată
deci pentru asta
care este opusă ştim deja este evident cateta cu lungimea 7
7
deci este 7
ei bine aceasta este cateta alăturată
este cateta alăturată cu lungimea 4
deci este 7
deci am rezolvat
Hai să facem alt exemplu
să rezolvăm alt exemplu concret deoarece chiar acum putem înţelege mai bine
să luăm un exemplu mai concret
să spunem
să spunem, adică să desenăm alt triunghi dreptunghic
să realizăm alt triunghi dreptunghic aici
totul se face cu
să spunem că lungimea ipotenuzei este 4
are lungimea 4
şi să spunem că acestă latură va fi (2 ori radical din 3) produsul dintre 2 şi radical din 3
să verificăm acest lucru
dacă ai această latură la pătrat să scriu 2 ori radical din 3 la pătrat
plus 2 la pătrat este egal cu
acesta este
de 4 ori 3 plus 4
şi acesta va fi egal cu 12 plus 4 şi obţinem 16, iar 16 este într-adevăr
pătratul lui 4
această egalitate satisface teorema lui Pitagora
Dacă îţi aminteşti ceva din ce ai învăţat despre unghiurile cu mărimea de 30, 60, 90 de grade triunghiul va avea
ai învăţat la geometrie, poţi recunoaşte aceste unghiuri
care sunt unghiurile de 30, 60, 90 de grade pentru triunghiul dreptunghic de aici,
unghiul aflat chiar aici este unghiul de 30 de grade
şi celălalt unghi care apare aici are
60 de grade
şi avem unghiuri de 30, 60, 90 de grade deoarece
cateta opusă unghiului de 30 de grade are lungimea jumătate din lungimea ipotenuzei
şi cateta opusă unghiului de 60 de grade este radical din 3 din lungimea celeilalte catete
nu din ipotenuză
deci de aceea avem unghiurile de 30, 60, 90 de grade în acest triunghi
să actualizăm problemele legate de functiile trigonometrice pentru diferite unghiuri
deci dacă te întreb
cât este sinusul de 30 de grade?
şi îţi aminteşti 30 de grade are acest unghi aici în acest triunghi, dar poate fi şi în alt triunghi
în orice triunghi dreptunghic ar fi unghiul de 30 de grade
avem aceeaşi definiţie, dar vezi că sinus de 30 de grade
acest unghi de aici are 30 de grade, deci pot folosi acest triunghi
şi va trebui să-mi amintesc expresia "soh cah toa"
deci voi rescrie
sinus ne spune că este egal cu cateta opusă supra ipotenuză
sinus de 30 de grade este cateta opusă
aceasta este cateta opusă, adică 2
supra ipotenuză, iar ipotenuza aici este 4
este 2 supra 4 care este acelaşi lucru cu 1 supra 2
sinus de 30 de grade mereu va fi egal cu
acum cât este
cât este cosinus
ne întoarcem din nou la "soh cah toa"
această expresie ne spune cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză
deci dacă vom calcula cosinusul pentru unghiul de 30 de grade
cateta alăturată este chiar aici lângă unghi
nu este ipotenuza
cosinus este cateta alăturată supra ipotenuză
cateta alăturată
sau dacă simplificăm expresia se divide
prin 2 şi obţinem radical din 3 supra 2.
În final să calculăm tangenta
de 30 de grade
ne întoarcem la expresia "soh cah toa"
deci
tangenta este raportul dintre cateta opusă supra cateta alăturată
ne întoarcem la unghiul de 30 de grade, deci
tangenta de 30 de grade este raportul dintre
cateta opusă este 2, iar cateta alăturată este 2 ori radical din 3
aşa că
înseamnă că tangenta de 30 de grade este egală cu
deci 2 supra 2 radical din 3
simplificăm expresia cu 2
obţinem 1 supra 3
apoi raţionalizăm numitorul înmulţind cu raportul radical din 3 supra radical din 3
deci avem
şi obţinem numărătorul egal cu radical din 3 şi numitorul este 3