WEBVTT

00:00:00.800 --> 00:00:03.017
Po prostu zróbmy całe mnóstwo przykładów,

00:00:03.017 --> 00:00:07.036
aby być pewnym, że rozumiemy dobrze
funkcje trygonometryczne.

00:00:07.036 --> 00:00:11.447
Skonstruujmy nieco 
trójkątów prostokątnych.

00:00:11.447 --> 00:00:13.668
Skonstruujmy kilka 
trójkątów prostokątnych

00:00:13.668 --> 00:00:15.186
bo chcę, żeby było to jasne,

00:00:15.186 --> 00:00:18.042
że ten sposób działa jedynie
w trójkątach prostokątnych,

00:00:18.042 --> 00:00:23.475
Jeśli próbujemy wyznaczyć funkcje 
trygonometryczne w innych trójkątach,

00:00:23.475 --> 00:00:25.704
to musimy skonstruować
trójkąty prostokątne,

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
Skupmy się więc na 
trójkątach prostokątnych.

00:00:27.867 --> 00:00:31.344
Powiedzmy, że mamy trójkąt,

00:00:31.344 --> 00:00:33.897
w którym ta długość wynosi siedem

00:00:33.897 --> 00:00:37.757
i powiedzmy, że długość tego boku

00:00:37.757 --> 00:00:39.452
wynosi cztery.

00:00:39.452 --> 00:00:42.516
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że

00:00:42.516 --> 00:00:45.720
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —

00:00:45.720 --> 00:00:52.200
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,

00:00:52.200 --> 00:00:55.194
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy

00:00:57.469 --> 00:01:01.974
sumie kwadratów

00:01:01.974 --> 00:01:04.533
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.

00:01:04.533 --> 00:01:09.776
Jest to równe 49

00:01:09.776 --> 00:01:11.800
49 + 16,

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
65. A więc h podniesione do kwadratu

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
napiszmy: h do kwadratu

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
65. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy

00:01:37.600 --> 00:01:39.200
Pierwiastek kwadratowy

00:01:39.200 --> 00:01:42.933
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać

00:01:42.933 --> 00:01:44.699
to jest 13

00:01:44.699 --> 00:01:47.463
to to samo co 13 razy 5,

00:01:47.463 --> 00:01:50.388
obydwie nie są kwadratami

00:01:50.388 --> 00:01:51.804
oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej.

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta.

00:02:02.114 --> 00:02:05.457
Nazwijmy ten kąt theta.

00:02:05.457 --> 00:02:06.533
Zawsze kiedy to robicie

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —

00:02:09.467 --> 00:02:11.714
„soh cah toa”.

00:02:11.714 --> 00:02:13.120
soh...

00:02:13.120 --> 00:02:16.464
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia

00:02:16.464 --> 00:02:18.786
mojego

00:02:18.786 --> 00:02:21.293
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś

00:02:21.293 --> 00:02:23.867
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny

00:02:23.867 --> 00:02:26.123
skrót pamięciowy,

00:02:26.123 --> 00:02:27.564
więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy

00:02:27.564 --> 00:02:31.046
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus.

00:02:31.046 --> 00:02:34.436
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.

00:02:34.436 --> 00:02:37.965
Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
część „cah” mówi nam,

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?

00:02:55.798 --> 00:02:57.702
Wiemy, że przeciwprostokątna

00:02:57.702 --> 00:03:00.767
wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony,

00:03:00.767 --> 00:03:04.761
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który

00:03:04.761 --> 00:03:07.133
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.

00:03:07.133 --> 00:03:10.473
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,

00:03:10.473 --> 00:03:14.374
jest dokładnie obok kąta,

00:03:14.374 --> 00:03:15.754
jest jednym z boków tworzących kąt.

00:03:15.754 --> 00:03:17.133
Jest równa 4

00:03:17.133 --> 00:03:21.108
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4

00:03:21.108 --> 00:03:25.380
podzielone przez

00:03:25.380 --> 00:03:29.142
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że

00:03:29.142 --> 00:03:32.625
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna,

00:03:32.625 --> 00:03:35.227
jak pierwiastek z 65.

00:03:35.227 --> 00:03:39.359
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie

00:03:39.359 --> 00:03:41.634
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik

00:03:41.634 --> 00:03:43.306
przez pierwiastek kwadratowy z 65.

00:03:43.306 --> 00:03:45.094
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ

00:03:45.094 --> 00:03:48.122
mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc

00:03:48.122 --> 00:03:49.111
w istocie mnożymy przez 1.

00:03:49.111 --> 00:03:52.780
To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika.

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
Licznik przyjmie postać

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
4 razy pierwiastek z 65,

00:03:57.800 --> 00:04:03.461
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.

00:04:03.461 --> 00:04:07.130
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.

00:04:07.130 --> 00:04:09.777
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,

00:04:09.777 --> 00:04:12.401
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi.

00:04:12.401 --> 00:04:14.399
Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,

00:04:14.399 --> 00:04:15.443
ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych,

00:04:15.443 --> 00:04:19.733
więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”.

00:04:19.733 --> 00:04:25.474
„Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]

00:04:25.474 --> 00:04:29.200
Sinus jest równy

00:04:29.200 --> 00:04:31.372
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

00:04:31.372 --> 00:04:34.390
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?

00:04:34.390 --> 00:04:38.430
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7,

00:04:38.430 --> 00:04:41.200
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
a następnie

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość

00:04:51.109 --> 00:04:52.966
Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
podzielony przez pierwiastek z 65

00:04:59.933 --> 00:05:04.298
i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu

00:05:04.298 --> 00:05:07.966
ponownie 65.

00:05:07.966 --> 00:05:10.474
Teraz zajmijmy się tangensem!

00:05:10.474 --> 00:05:12.796
Zajmijmy się tangensem.

00:05:12.796 --> 00:05:14.793
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens

00:05:14.793 --> 00:05:17.394
tangens kąta theta,

00:05:17.394 --> 00:05:20.784
wracamy ponownie do soh cah

00:05:20.784 --> 00:05:23.106
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens.

00:05:23.106 --> 00:05:24.800
Mówi on nam,

00:05:24.800 --> 00:05:27.053
mówi nam, że tangens

00:05:27.053 --> 00:05:29.867
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej

00:05:29.867 --> 00:05:33.137
do

00:05:33.137 --> 00:05:35.867
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent]

00:05:35.867 --> 00:05:38.709
więc dla tego kąta

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
o długości 7,

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
więc to bok o długości 7

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
Cóż, ten o długości 4 jest przyległy

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4.

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
A więc jest to 7

00:05:54.330 --> 00:05:56.133
I zakończyliśmy.

00:05:56.133 --> 00:05:59.375
Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny.

00:05:59.375 --> 00:06:00.416
Zabierzmy się za następny.

00:06:00.416 --> 00:06:02.719
Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o

00:06:02.719 --> 00:06:06.434
tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości.

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
Powiedzmy

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
Oto kolejny trójkąt prostokątny.

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
Wszystko, z czym mamy do czynienia,

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
Powiedzmy, że przeciwprostokątna

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
ma długość 4.

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
zweryfikować, że tak jest,

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
trzech, podniesione do kwadratu

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
dodać dwa do kwadratu jest równe czemu?

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
To jest

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
4 razy 3 dodać 4

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
4 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu,

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa.

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni,

00:07:06.133 --> 00:07:07.781
o których być może uczyliście się na geometrii,

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni;

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny.

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy,

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
a ten tutaj, ten kąt jest

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
kątem 60-stopniowym

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej,

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok

00:07:36.800 --> 00:07:38.432
nie będący przeciwprostokątną,

00:07:38.432 --> 00:07:40.159
więc nie będziemy się nim zajmować,

00:07:40.159 --> 00:07:43.415
to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni.

00:07:43.415 --> 00:07:46.933
Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów.

00:07:46.933 --> 00:07:51.295
Więc jeśli zostaniecie poproszeni

00:07:51.295 --> 00:07:54.639
ile wynosi sinus 30 stopni

00:07:54.639 --> 00:07:58.447
i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to

00:07:58.447 --> 00:08:01.698
każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy

00:08:01.698 --> 00:08:05.135
mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni,

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
i wystarczy pamiętać soh cah toa,

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
więc przepiszę to

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej,

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
która to jest bokiem o długości 2,

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4.

00:08:32.395 --> 00:08:35.646
Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga.

00:08:35.646 --> 00:08:40.800
Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy

00:08:40.800 --> 00:08:44.144
Teraz, ile wynosi

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
Ile wynosi cosinus

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa.

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus.

00:08:52.643 --> 00:08:56.033
Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.

00:08:56.033 --> 00:08:59.051
Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to

00:08:59.051 --> 00:09:01.791
przyprostokątna przyległa, przylega do kąta

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
i nie jest to przeciwprostokątna.

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
Stosunek przyprostokątnej przyległej

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
podzielony przez 2.

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
Na koniec obliczmy

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
Tangens 30 stopni.

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
Wracamy do soh cah toa.

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
soh cah toa

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie

00:09:46.200 --> 00:09:48.045
kąta

00:09:48.045 --> 00:09:49.439
oznacza to, że przylega do kąta.

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
co jest równe

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech.

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech,

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
więc otrzymujemy:

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech,

00:10:08.804 --> 00:10:12.473
a mianownik tutaj jest równy po prostu 3,

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
a więc jest liczbą wymierną.

00:10:15.800 --> 00:10:17.442
W porządku.

00:10:17.442 --> 00:10:20.693
Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni,

00:10:20.693 --> 00:10:22.457
ponieważ już go sporządziliśmy.

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
A więc ile wynosi

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy.

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
jest przyprostokątną przeciwległą?

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
który leży naprzeciw

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować.

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej,

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej.

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa,

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni.

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
a więc jest to równe

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
I w końcu

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
ile wynosi tangens, ile wynosi tangens

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
ma długość dwa pierwiastki z trzech.

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
Dwa pierwiastki z trzech,

00:11:38.000 --> 00:11:39.919
a przyprostokątna przyległa do kąta,

00:11:39.919 --> 00:11:42.733
przyległa do kąta

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2.

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane.

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni.

00:11:57.984 --> 00:12:01.333
Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni.

00:12:01.333 --> 00:12:03.966
Te funkcje są przestawione [dla tych kątów]

00:12:03.966 --> 00:12:05.635
i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie,

00:12:05.635 --> 00:12:07.105
zacznie być jasne, dlaczego tak jest.

00:12:07.105 --> 00:12:08.461
Będziemy to rozszerzać i zrobimy

00:12:08.461 --> 99:59:59.999
więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.