WEBVTT 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 proprio bene queste funzioni trigonometriche. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo. 00:00:11.447 --> 00:00:15.178 Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare 00:00:18.042 --> 00:00:25.665 le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli. 00:00:27.867 --> 00:00:33.854 Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7 00:00:33.897 --> 00:00:39.457 e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4. 00:00:39.457 --> 00:00:42.516 Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo --- 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 chiamiamo l'ipotenusa h. 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 dal teorema di Pitagora, 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 che l'ipotenusa al quadrato e' uguale 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 al quadrato di ogni, alla somma del quadrato 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2. 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 Percio' questo e' 49, 00:01:09.776 --> 00:01:11.800 49 + 16, 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 49 + 10 = 59, piu' 6 fa 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 65. Fa 65 quindi questo e' h^2. 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 Fammelo scrivere: h^2. 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata 00:01:37.600 --> 00:01:39.200 Radice quadrata. 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente. 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 Questo e' 13, 00:01:44.699 --> 00:01:50.233 questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e 00:01:50.243 --> 00:01:51.804 sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Percio' questo e' uguale alla radice quadrata 00:01:55.467 --> 00:02:04.597 Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta. 00:02:04.597 --> 00:02:06.533 Quindi ogni volta che lo fai 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo --- 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 "SOH CAH TOA". 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 SOH. 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi 00:02:16.464 --> 00:02:18.786 del mio 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche 00:02:21.293 --> 00:02:26.087 tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo, 00:02:27.564 --> 00:02:34.406 diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo. 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA! 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno, 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 la parte CAH ci dice 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa. 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 Coseno = adiacente 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Beh sappiamo che l'ipotenusa, 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 che non e' l'ipotenusa e' questo 4. 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 Quindi l'adiacente qui, questo lato e', 00:03:10.473 --> 00:03:15.494 sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo, 00:03:15.524 --> 00:03:17.133 e' 4, 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4 00:03:21.108 --> 00:03:25.380 fratto 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace 00:03:29.142 --> 00:03:35.175 avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 e se --- se lo vuoi riscrivere senza un 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 per la radice quadrata di 65. 00:03:43.306 --> 00:03:47.814 Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio' 00:03:47.852 --> 00:03:52.710 stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del 00:03:52.710 --> 00:03:54.127 numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 4 per la radice quadrata di 65 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche, 00:04:09.777 --> 00:04:14.351 o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 ma derivano tutte da queste. 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA. 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa. 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Seno e' uguale a 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 quindi il lato opposto e' 7. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 Questo qui --- questo e' il lato opposto 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 e poi 00:04:47.800 --> 00:04:52.939 l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e' 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 fratto la radice quadrata di 65. 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente 00:05:04.298 --> 00:05:07.966 di nuovo 65. 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Facciamo la tangente. 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Facciamo la tangente. 00:05:12.796 --> 00:05:14.793 Quindi se ti chiedo la tangente 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 di --- la tangente di theta. 00:05:17.394 --> 00:05:20.784 Di nuovo torniamo a SOH CAH 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente. 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 Ci dice, 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 ci dice che la tangente 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto 00:05:29.867 --> 00:05:33.137 fratto, 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 opposto fratto adiacente. 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 Allora per quest'angolo 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 e' sette. 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 Quindi e' 7 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 Beh 4 e' adiacente. 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4. 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 Percio' e' 7 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 e abbiamo finito. 00:05:56.133 --> 00:06:00.345 Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh, 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto. 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Diciamo, 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo. 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 Questo qui e' un altro triangolo rettangolo. 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare --- 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 Diciamo che l'ipotenusa 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 ha lunghezza 4. 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 verificare che funziona. 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 3 al quadrato 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 piu' 2^2 e' uguale a quanto. 00:06:42.471 --> 00:06:46.467 Questo e' 00:06:46.467 --> 00:06:49.763 4 * 3 + 4. 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 4^2 percio' questo e' uguale a 4^2. 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora. 00:07:01.790 --> 00:07:07.733 E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 imparato in geometria magari riconosci che questo 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo. 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e' 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 un angolo di 60 gradi. 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 Ed e' un 30-60-90 perche' 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 che non e' l'ipotenusa. 00:07:38.432 --> 00:07:43.409 Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90, 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi. 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Percio' se ti chiedessi --- 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 quant'e' il seno di 30 gradi. 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi --- 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA. 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 Lo riscrivo. SOH. 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa. 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 Il seno di trenta gradi e' il lato opposto --- 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 e' questo il lato opposto, che e' 2, 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4. 00:08:32.395 --> 00:08:35.646 E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo. 00:08:35.646 --> 00:08:40.800 Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale 00:08:40.800 --> 00:08:44.144 Adesso, quant'e' 00:08:44.144 --> 00:08:46.867 Quant'e' il coseno di 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA. 00:08:50.135 --> 00:08:56.013 Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa. 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e' 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato. 00:09:01.791 --> 00:09:05.467 Non e' l'ipotenusa. 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 Adiacente 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 fratto 2. 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 Infine facciamo 00:09:22.782 --> 00:09:27.800 Tangente di 30 gradi. 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 Torniamo a SOH CAH TOA. 00:09:30.305 --> 00:09:31.699 SOH CAH TOA. 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente. 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30, 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 tangente di 30. L'opposto e' 2, 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e' 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 adiacente. 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 Adiacente significa attaccato. 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 Quindi 2 radice quadrata di 3. 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 Percio' e' uguale a --- 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3. 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3. 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 Quindi abbiamo 00:10:05.367 --> 00:10:12.444 E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3. 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 Va bene. 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 visto che l'abbiamo gia' disegnato. 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 Quindi quant'e'. 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso. 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 opposto. 00:10:36.668 --> 00:10:42.545 Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3 00:10:42.575 --> 00:10:45.306 e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e' 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere. 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 Allora e' opposto su ipotenusa. 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa. 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2. 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi. 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa. 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 sull'ipotenusa che e' 4, 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 quindi e' uguale a 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 E poi infine 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 quant'e' la tangente, quant'e' la tangente 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente. 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 Opposto ai 60 gradi 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 c'e' 2 radice quadrata di 3. 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 2 radice quadrata di 3. 00:11:38.000 --> 00:11:39.919 E adiacente a quello, 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 adiacente a quello 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 L'adiacente ai 60 gradi e' il 2. 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 Quindi opposto su adiacente. 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 E voglio solo --- guarda come sono collegati. 00:11:54.641 --> 00:12:01.224 Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi 00:12:01.243 --> 00:12:05.616 e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo 00:12:05.636 --> 00:12:08.645 comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo 00:12:08.645 --> 00:12:10.511 paio di video.