1
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire

2
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
proprio bene queste funzioni trigonometriche.

3
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo.

4
00:00:11,447 --> 00:00:15,178
Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito

5
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare

6
00:00:18,042 --> 00:00:25,665
le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno

7
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli.

8
00:00:27,867 --> 00:00:33,854
Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7

9
00:00:33,897 --> 00:00:39,457
e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4.

10
00:00:39,457 --> 00:00:42,516
Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo ---

11
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
chiamiamo l'ipotenusa h.

12
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo

13
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
dal teorema di Pitagora,

14
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
che l'ipotenusa al quadrato e' uguale

15
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
al quadrato di ogni, alla somma del quadrato

16
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2.

17
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
Percio' questo e' 49,

18
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
49 + 16,

19
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49 + 10 = 59, piu' 6 fa

20
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
65. Fa 65 quindi questo e' h^2.

21
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
Fammelo scrivere: h^2.

22
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale

23
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6

24
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata

25
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
Radice quadrata.

26
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente.

27
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
Questo e' 13,

28
00:01:44,699 --> 00:01:50,233
questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e

29
00:01:50,243 --> 00:01:51,804
sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'.

30
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Percio' questo e' uguale alla radice quadrata

31
00:01:55,467 --> 00:02:04,597
Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta.

32
00:02:04,597 --> 00:02:06,533
Quindi ogni volta che lo fai

33
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo ---

34
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
"SOH CAH TOA".

35
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
SOH.

36
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi

37
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
del mio

38
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche

39
00:02:21,293 --> 00:02:26,087
tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto

40
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo,

41
00:02:27,564 --> 00:02:34,406
diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo.

42
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA!

43
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno,

44
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
la parte CAH ci dice

45
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa.

46
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Coseno = adiacente

47
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente?

48
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Beh sappiamo che l'ipotenusa,

49
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra

50
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente

51
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
che non e' l'ipotenusa e' questo 4.

52
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
Quindi l'adiacente qui, questo lato e',

53
00:03:10,473 --> 00:03:15,494
sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo,

54
00:03:15,524 --> 00:03:17,133
e' 4,

55
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4

56
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
fratto

57
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace

58
00:03:29,142 --> 00:03:35,175
avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65

59
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
e se --- se lo vuoi riscrivere senza un

60
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore

61
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
per la radice quadrata di 65.

62
00:03:43,306 --> 00:03:47,814
Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio'

63
00:03:47,852 --> 00:03:52,710
stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del

64
00:03:52,710 --> 00:03:54,127
numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa

65
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
4 per la radice quadrata di 65

66
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65.

67
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore.

68
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche,

69
00:04:09,777 --> 00:04:14,351
o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata

70
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
ma derivano tutte da queste.

71
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA.

72
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa.

73
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Seno e' uguale a

74
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa.

75
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto?

76
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7

77
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
quindi il lato opposto e' 7.

78
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
Questo qui --- questo e' il lato opposto

79
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
e poi

80
00:04:47,800 --> 00:04:52,939
l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e'

81
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65

82
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
fratto la radice quadrata di 65.

83
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente

84
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
di nuovo 65.

85
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Facciamo la tangente.

86
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Facciamo la tangente.

87
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Quindi se ti chiedo la tangente

88
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
di --- la tangente di theta.

89
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
Di nuovo torniamo a SOH CAH

90
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente.

91
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
Ci dice,

92
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
ci dice che la tangente

93
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto

94
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
fratto,

95
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
opposto fratto adiacente.

96
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
Allora per quest'angolo

97
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto

98
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
e' sette.

99
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Quindi e' 7

100
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
Beh 4 e' adiacente.

101
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4.

102
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
Percio' e' 7

103
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
e abbiamo finito.

104
00:05:56,133 --> 00:06:00,345
Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro.

105
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh,

106
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto.

107
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Diciamo,

108
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo.

109
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
Questo qui e' un altro triangolo rettangolo.

110
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare ---

111
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Diciamo che l'ipotenusa

112
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
ha lunghezza 4.

113
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo

114
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
verificare che funziona.

115
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di

116
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
3 al quadrato

117
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
piu' 2^2 e' uguale a quanto.

118
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
Questo e'

119
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4 * 3 + 4.

120
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente

121
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
4^2 percio' questo e' uguale a 4^2.

122
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora.

123
00:07:01,790 --> 00:07:07,733
E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver

124
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
imparato in geometria magari riconosci che questo

125
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto

126
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo.

127
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi

128
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e'

129
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
un angolo di 60 gradi.

130
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
Ed e' un 30-60-90 perche'

131
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa

132
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato

133
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
che non e' l'ipotenusa.

134
00:07:38,432 --> 00:07:43,409
Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90,

135
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi.

136
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Percio' se ti chiedessi ---

137
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
quant'e' il seno di 30 gradi.

138
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe

139
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo

140
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi ---

141
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo

142
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA.

143
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Lo riscrivo. SOH.

144
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa.

145
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
Il seno di trenta gradi e' il lato opposto ---

146
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
e' questo il lato opposto, che e' 2,

147
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4.

148
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo.

149
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale

150
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
Adesso, quant'e'

151
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
Quant'e' il coseno di

152
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA.

153
00:08:50,135 --> 00:08:56,013
Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa.

154
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e'

155
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato.

156
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
Non e' l'ipotenusa.

157
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due

158
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
Adiacente

159
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3

160
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
fratto 2.

161
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Infine facciamo

162
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Tangente di 30 gradi.

163
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
Torniamo a SOH CAH TOA.

164
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
SOH CAH TOA.

165
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente.

166
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30,

167
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
tangente di 30. L'opposto e' 2,

168
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e'

169
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
adiacente.

170
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
Adiacente significa attaccato.

171
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
Quindi 2 radice quadrata di 3.

172
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
Percio' e' uguale a ---

173
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3.

174
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3.

175
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Quindi abbiamo

176
00:10:05,367 --> 00:10:12,444
E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore

177
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3.

178
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
Va bene.

179
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi

180
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
visto che l'abbiamo gia' disegnato.

181
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
Quindi quant'e'.

182
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso.

183
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato

184
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
opposto.

185
00:10:36,668 --> 00:10:42,545
Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3

186
00:10:42,575 --> 00:10:45,306
e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e'

187
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere.

188
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
Allora e' opposto su ipotenusa.

189
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa.

190
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2.

191
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi.

192
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa.

193
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2

194
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
sull'ipotenusa che e' 4,

195
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
quindi e' uguale a

196
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
E poi infine

197
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
quant'e' la tangente, quant'e' la tangente

198
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente.

199
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
Opposto ai 60 gradi

200
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
c'e' 2 radice quadrata di 3.

201
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
2 radice quadrata di 3.

202
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
E adiacente a quello,

203
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
adiacente a quello

204
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
L'adiacente ai 60 gradi e' il 2.

205
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
Quindi opposto su adiacente.

206
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale

207
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
E voglio solo --- guarda come sono collegati.

208
00:11:54,641 --> 00:12:01,224
Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi

209
00:12:01,243 --> 00:12:05,616
e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo

210
00:12:05,636 --> 00:12:08,645
comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo

211
00:12:08,645 --> 00:12:10,511
paio di video.