0:00:00.800,0:00:03.017 Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire 0:00:03.017,0:00:07.036 proprio bene queste funzioni trigonometriche. 0:00:07.036,0:00:11.447 Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo. 0:00:11.447,0:00:15.178 Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito 0:00:15.186,0:00:18.042 finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare 0:00:18.042,0:00:25.665 le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno 0:00:25.704,0:00:27.867 di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli. 0:00:27.867,0:00:33.854 Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7 0:00:33.897,0:00:39.457 e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4. 0:00:39.457,0:00:42.516 Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo --- 0:00:42.516,0:00:45.720 chiamiamo l'ipotenusa h. 0:00:45.720,0:00:52.200 Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo 0:00:52.200,0:00:55.194 dal teorema di Pitagora, 0:00:55.194,0:00:57.469 che l'ipotenusa al quadrato e' uguale 0:00:57.469,0:01:01.974 al quadrato di ogni, alla somma del quadrato 0:01:01.974,0:01:04.533 degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2. 0:01:04.533,0:01:09.776 Percio' questo e' 49, 0:01:09.776,0:01:11.800 49 + 16, 0:01:11.800,0:01:18.553 49 + 10 = 59, piu' 6 fa 0:01:18.553,0:01:21.107 65. Fa 65 quindi questo e' h^2. 0:01:21.107,0:01:25.705 Fammelo scrivere: h^2. 0:01:25.705,0:01:28.818 E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale 0:01:28.818,0:01:33.533 65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6 0:01:33.533,0:01:37.600 fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata 0:01:37.600,0:01:39.200 Radice quadrata. 0:01:39.200,0:01:42.933 Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente. 0:01:42.933,0:01:44.699 Questo e' 13, 0:01:44.699,0:01:50.233 questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e 0:01:50.243,0:01:51.804 sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'. 0:01:51.804,0:01:55.467 Percio' questo e' uguale alla radice quadrata 0:01:55.467,0:02:04.597 Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta. 0:02:04.597,0:02:06.533 Quindi ogni volta che lo fai 0:02:06.533,0:02:09.467 vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo --- 0:02:09.467,0:02:11.714 "SOH CAH TOA". 0:02:11.714,0:02:13.120 SOH. 0:02:13.120,0:02:16.464 SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi 0:02:16.464,0:02:18.786 del mio 0:02:18.786,0:02:21.293 insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche 0:02:21.293,0:02:26.087 tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto 0:02:26.123,0:02:27.564 utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo, 0:02:27.564,0:02:34.406 diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo. 0:02:34.436,0:02:37.965 Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA! 0:02:37.965,0:02:40.800 Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno, 0:02:40.800,0:02:43.027 la parte CAH ci dice 0:02:43.027,0:02:46.371 che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa. 0:02:46.371,0:02:51.433 Coseno = adiacente 0:02:51.433,0:02:55.798 Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente? 0:02:55.798,0:02:57.702 Beh sappiamo che l'ipotenusa, 0:02:57.702,0:03:00.767 lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra 0:03:00.767,0:03:04.761 quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente 0:03:04.761,0:03:07.133 che non e' l'ipotenusa e' questo 4. 0:03:07.133,0:03:10.473 Quindi l'adiacente qui, questo lato e', 0:03:10.473,0:03:15.494 sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo, 0:03:15.524,0:03:17.133 e' 4, 0:03:17.133,0:03:21.108 L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4 0:03:21.108,0:03:25.380 fratto 0:03:25.380,0:03:29.142 E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace 0:03:29.142,0:03:35.175 avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65 0:03:35.227,0:03:39.359 e se --- se lo vuoi riscrivere senza un 0:03:39.359,0:03:41.634 numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore 0:03:41.634,0:03:43.306 per la radice quadrata di 65. 0:03:43.306,0:03:47.814 Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio' 0:03:47.852,0:03:52.710 stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del 0:03:52.710,0:03:54.127 numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa 0:03:54.127,0:03:57.800 4 per la radice quadrata di 65 0:03:57.800,0:04:03.461 e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65. 0:04:03.461,0:04:07.130 Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore. 0:04:07.130,0:04:09.777 Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche, 0:04:09.777,0:04:14.351 o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata 0:04:14.399,0:04:15.443 ma derivano tutte da queste. 0:04:15.443,0:04:19.733 Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA. 0:04:19.733,0:04:25.474 Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa. 0:04:25.474,0:04:29.200 Seno e' uguale a 0:04:29.200,0:04:31.372 opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa. 0:04:31.372,0:04:34.390 Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto? 0:04:34.390,0:04:38.430 Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7 0:04:38.430,0:04:41.200 quindi il lato opposto e' 7. 0:04:41.200,0:04:44.468 Questo qui --- questo e' il lato opposto 0:04:44.468,0:04:47.800 e poi 0:04:47.800,0:04:52.939 l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e' 0:04:52.966,0:04:55.133 e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65 0:04:55.133,0:04:59.933 fratto la radice quadrata di 65. 0:04:59.933,0:05:04.298 Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente 0:05:04.298,0:05:07.966 di nuovo 65. 0:05:07.966,0:05:10.474 Facciamo la tangente. 0:05:10.474,0:05:12.796 Facciamo la tangente. 0:05:12.796,0:05:14.793 Quindi se ti chiedo la tangente 0:05:14.793,0:05:17.394 di --- la tangente di theta. 0:05:17.394,0:05:20.784 Di nuovo torniamo a SOH CAH 0:05:20.784,0:05:23.106 TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente. 0:05:23.106,0:05:24.800 Ci dice, 0:05:24.800,0:05:27.053 ci dice che la tangente 0:05:27.053,0:05:29.867 e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto 0:05:29.867,0:05:33.137 fratto, 0:05:33.137,0:05:35.867 opposto fratto adiacente. 0:05:35.867,0:05:38.709 Allora per quest'angolo 0:05:38.709,0:05:41.124 qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto 0:05:41.124,0:05:42.533 e' sette. 0:05:42.533,0:05:46.372 Quindi e' 7 0:05:46.372,0:05:48.200 Beh 4 e' adiacente. 0:05:48.200,0:05:51.295 Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4. 0:05:51.295,0:05:54.330 Percio' e' 7 0:05:54.330,0:05:56.133 e abbiamo finito. 0:05:56.133,0:06:00.345 Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro. 0:06:00.416,0:06:02.719 Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh, 0:06:02.719,0:06:06.434 tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto. 0:06:06.434,0:06:08.431 Diciamo, 0:06:08.431,0:06:10.799 diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo. 0:06:10.799,0:06:13.772 Questo qui e' un altro triangolo rettangolo. 0:06:13.772,0:06:17.533 Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare --- 0:06:17.533,0:06:21.109 Diciamo che l'ipotenusa 0:06:21.109,0:06:26.357 ha lunghezza 4. 0:06:26.357,0:06:31.790 E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo 0:06:31.790,0:06:33.462 verificare che funziona. 0:06:33.462,0:06:36.467 Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di 0:06:36.467,0:06:38.803 3 al quadrato 0:06:38.803,0:06:42.471 piu' 2^2 e' uguale a quanto. 0:06:42.471,0:06:46.467 Questo e' 0:06:46.467,0:06:49.763 4 * 3 + 4. 0:06:49.763,0:06:53.478 E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente 0:06:53.478,0:06:57.800 4^2 percio' questo e' uguale a 4^2. 0:06:57.800,0:07:01.790 E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora. 0:07:01.790,0:07:07.733 E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver 0:07:07.781,0:07:11.450 imparato in geometria magari riconosci che questo 0:07:11.450,0:07:13.133 qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto 0:07:13.133,0:07:15.867 disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo. 0:07:15.867,0:07:20.366 Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi 0:07:20.366,0:07:23.385 e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e' 0:07:23.385,0:07:26.125 un angolo di 60 gradi. 0:07:26.125,0:07:27.797 Ed e' un 30-60-90 perche' 0:07:27.797,0:07:31.791 il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa 0:07:31.791,0:07:36.800 e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato 0:07:36.800,0:07:38.432 che non e' l'ipotenusa. 0:07:38.432,0:07:43.409 Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90, 0:07:43.415,0:07:46.933 In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi. 0:07:46.933,0:07:51.295 Percio' se ti chiedessi --- 0:07:51.295,0:07:54.639 quant'e' il seno di 30 gradi. 0:07:54.639,0:07:58.447 E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe 0:07:58.447,0:08:01.698 ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo 0:08:01.698,0:08:05.135 una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi --- 0:08:05.135,0:08:09.035 hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo 0:08:09.035,0:08:12.133 e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA. 0:08:12.133,0:08:17.116 Lo riscrivo. SOH. 0:08:17.116,0:08:22.782 Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa. 0:08:22.782,0:08:26.358 Il seno di trenta gradi e' il lato opposto --- 0:08:26.358,0:08:30.723 e' questo il lato opposto, che e' 2, 0:08:30.723,0:08:32.395 fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4. 0:08:32.395,0:08:35.646 E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo. 0:08:35.646,0:08:40.800 Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale 0:08:40.800,0:08:44.144 Adesso, quant'e' 0:08:44.144,0:08:46.867 Quant'e' il coseno di 0:08:46.867,0:08:50.135 Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA. 0:08:50.135,0:08:56.013 Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa. 0:08:56.033,0:08:59.051 Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e' 0:08:59.051,0:09:01.791 l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato. 0:09:01.791,0:09:05.467 Non e' l'ipotenusa. 0:09:05.467,0:09:09.129 E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due 0:09:09.129,0:09:13.633 Adiacente 0:09:13.633,0:09:16.977 O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3 0:09:16.977,0:09:20.646 fratto 2. 0:09:20.646,0:09:22.782 Infine facciamo 0:09:22.782,0:09:27.800 Tangente di 30 gradi. 0:09:27.800,0:09:30.305 Torniamo a SOH CAH TOA. 0:09:30.305,0:09:31.699 SOH CAH TOA. 0:09:31.699,0:09:34.800 TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente. 0:09:34.800,0:09:38.804 Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30, 0:09:38.804,0:09:42.101 tangente di 30. L'opposto e' 2, 0:09:42.101,0:09:46.200 l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e' 0:09:46.200,0:09:48.045 adiacente. 0:09:48.045,0:09:49.439 Adiacente significa attaccato. 0:09:49.439,0:09:52.039 Quindi 2 radice quadrata di 3. 0:09:52.039,0:09:54.454 Percio' e' uguale a --- 0:09:54.454,0:09:56.776 questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3. 0:09:56.776,0:10:00.723 O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3. 0:10:00.723,0:10:05.367 Quindi abbiamo 0:10:05.367,0:10:12.444 E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore 0:10:12.473,0:10:15.800 qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3. 0:10:15.800,0:10:17.442 Va bene. 0:10:17.442,0:10:20.693 Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi 0:10:20.693,0:10:22.457 visto che l'abbiamo gia' disegnato. 0:10:22.457,0:10:28.328 Quindi quant'e'. 0:10:28.328,0:10:30.166 Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso. 0:10:30.166,0:10:34.253 Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato 0:10:34.253,0:10:36.668 opposto. 0:10:36.668,0:10:42.545 Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3 0:10:42.575,0:10:45.306 e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e' 0:10:45.306,0:10:47.999 opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere. 0:10:47.999,0:10:50.507 Allora e' opposto su ipotenusa. 0:10:50.507,0:10:54.315 Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa. 0:10:54.315,0:10:59.981 Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2. 0:10:59.981,0:11:05.507 Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi. 0:11:05.507,0:11:10.244 Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa. 0:11:10.244,0:11:13.667 L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2 0:11:13.667,0:11:17.907 sull'ipotenusa che e' 4, 0:11:17.907,0:11:20.972 quindi e' uguale a 0:11:20.972,0:11:24.176 E poi infine 0:11:24.176,0:11:27.984 quant'e' la tangente, quant'e' la tangente 0:11:27.984,0:11:32.349 Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente. 0:11:32.349,0:11:34.671 Opposto ai 60 gradi 0:11:34.671,0:11:36.400 c'e' 2 radice quadrata di 3. 0:11:36.400,0:11:38.000 2 radice quadrata di 3. 0:11:38.000,0:11:39.919 E adiacente a quello, 0:11:39.919,0:11:42.733 adiacente a quello 0:11:42.733,0:11:44.800 L'adiacente ai 60 gradi e' il 2. 0:11:44.800,0:11:48.650 Quindi opposto su adiacente. 0:11:48.650,0:11:52.644 2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale 0:11:52.644,0:11:54.641 E voglio solo --- guarda come sono collegati. 0:11:54.641,0:12:01.224 Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi 0:12:01.243,0:12:05.616 e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo 0:12:05.636,0:12:08.645 comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo 0:12:08.645,0:12:10.511 paio di video.