Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire
proprio bene queste funzioni trigonometriche.
Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo.
Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito
finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare
le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno
di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli.
Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7
e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4.
Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo ---
chiamiamo l'ipotenusa h.
Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo
dal teorema di Pitagora,
che l'ipotenusa al quadrato e' uguale
al quadrato di ogni, alla somma del quadrato
degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2.
Percio' questo e' 49,
49 + 16,
49 + 10 = 59, piu' 6 fa
65. Fa 65 quindi questo e' h^2.
Fammelo scrivere: h^2.
E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale
65. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6
fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata
Radice quadrata.
Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente.
Questo e' 13,
questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e
sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'.
Percio' questo e' uguale alla radice quadrata
Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta.
Quindi ogni volta che lo fai
vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo ---
"SOH CAH TOA".
SOH.
SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi
del mio
insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche
tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto
utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo,
diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo.
Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA!
Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno,
la parte CAH ci dice
che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa.
Coseno = adiacente
Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente?
Beh sappiamo che l'ipotenusa,
lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra
quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente
che non e' l'ipotenusa e' questo 4.
Quindi l'adiacente qui, questo lato e',
sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo,
e' 4,
L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4
fratto
E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace
avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65
e se --- se lo vuoi riscrivere senza un
numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore
per la radice quadrata di 65.
Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio'
stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del
numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa
4 per la radice quadrata di 65
e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65.
Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore.
Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche,
o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata
ma derivano tutte da queste.
Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA.
Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
Seno e' uguale a
opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa.
Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto?
Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7
quindi il lato opposto e' 7.
Questo qui --- questo e' il lato opposto
e poi
l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e'
e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65
fratto la radice quadrata di 65.
Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente
di nuovo 65.
Facciamo la tangente.
Facciamo la tangente.
Quindi se ti chiedo la tangente
di --- la tangente di theta.
Di nuovo torniamo a SOH CAH
TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente.
Ci dice,
ci dice che la tangente
e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto
fratto,
opposto fratto adiacente.
Allora per quest'angolo
qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto
e' sette.
Quindi e' 7
Beh 4 e' adiacente.
Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4.
Percio' e' 7
e abbiamo finito.
Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro.
Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh,
tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto.
Diciamo,
diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo.
Questo qui e' un altro triangolo rettangolo.
Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare ---
Diciamo che l'ipotenusa
ha lunghezza 4.
E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo
verificare che funziona.
Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di
3 al quadrato
piu' 2^2 e' uguale a quanto.
Questo e'
4 * 3 + 4.
E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente
4^2 percio' questo e' uguale a 4^2.
E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora.
E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver
imparato in geometria magari riconosci che questo
qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto
disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo.
Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi
e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e'
un angolo di 60 gradi.
Ed e' un 30-60-90 perche'
il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa
e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato
che non e' l'ipotenusa.
Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90,
In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi.
Percio' se ti chiedessi ---
quant'e' il seno di 30 gradi.
E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe
ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo
una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi ---
hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo
e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA.
Lo riscrivo. SOH.
Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
Il seno di trenta gradi e' il lato opposto ---
e' questo il lato opposto, che e' 2,
fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4.
E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo.
Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale
Adesso, quant'e'
Quant'e' il coseno di
Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA.
Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa.
Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e'
l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato.
Non e' l'ipotenusa.
E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due
Adiacente
O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3
fratto 2.
Infine facciamo
Tangente di 30 gradi.
Torniamo a SOH CAH TOA.
SOH CAH TOA.
TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente.
Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30,
tangente di 30. L'opposto e' 2,
l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e'
adiacente.
Adiacente significa attaccato.
Quindi 2 radice quadrata di 3.
Percio' e' uguale a ---
questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3.
O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3.
Quindi abbiamo
E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore
qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3.
Va bene.
Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi
visto che l'abbiamo gia' disegnato.
Quindi quant'e'.
Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso.
Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato
opposto.
Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3
e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e'
opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere.
Allora e' opposto su ipotenusa.
Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa.
Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2.
Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi.
Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa.
L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2
sull'ipotenusa che e' 4,
quindi e' uguale a
E poi infine
quant'e' la tangente, quant'e' la tangente
Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente.
Opposto ai 60 gradi
c'e' 2 radice quadrata di 3.
2 radice quadrata di 3.
E adiacente a quello,
adiacente a quello
L'adiacente ai 60 gradi e' il 2.
Quindi opposto su adiacente.
2 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale
E voglio solo --- guarda come sono collegati.
Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi
e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo
comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo
paio di video.