WEBVTT

00:00:00.800 --> 00:00:03.017
Хайде да направим още много примери,

00:00:03.017 --> 00:00:07.036
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.

00:00:07.036 --> 00:00:11.447
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника.

00:00:11.447 --> 00:00:13.668
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,

00:00:13.668 --> 00:00:15.186
като искам добре да поясня...

00:00:15.186 --> 00:00:18.042
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.

00:00:18.042 --> 00:00:23.475
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,

00:00:23.475 --> 00:00:25.704
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.

00:00:27.867 --> 00:00:31.344
Да кажем, че имам един триъгълник,

00:00:31.344 --> 00:00:33.897
при който дължината тук долу е 7,

00:00:33.897 --> 00:00:37.757
а дължината на тази страна тук горе

00:00:37.757 --> 00:00:39.452
е, да кажем, 4.

00:00:39.452 --> 00:00:42.516
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.

00:00:42.516 --> 00:00:45.720
Наричаме хипотенузата h – знаем,

00:00:45.720 --> 00:00:52.200
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,

00:00:52.200 --> 00:00:55.194
като знаем това от теоремата на Питагор,

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на

00:00:57.469 --> 00:01:01.974
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.

00:01:01.974 --> 00:01:04.533
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.

00:01:04.533 --> 00:01:09.776
Това е равно на 49 плюс 16,

00:01:09.776 --> 00:01:11.800
49 плюс 16,

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
Това е 65. Това е h на квадрат,

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
h на квадрат е равно на 65.

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –

00:01:37.600 --> 00:01:39.200
корен квадратен

00:01:39.200 --> 00:01:42.933
от 65. И изобщо не можем да опростим това.

00:01:42.933 --> 00:01:44.699
Това е 13.

00:01:44.699 --> 00:01:47.463
Това е същото като 13 по 5,

00:01:47.463 --> 00:01:50.388
като и двете от тези не са точни квадрати и

00:01:50.388 --> 00:01:51.804
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
Това е равно на корен квадратен от 65.

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.

00:02:02.114 --> 00:02:05.457
Нека наречем този ъгъл тита.

00:02:05.457 --> 00:02:06.533
Когато правиш това,

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –

00:02:09.467 --> 00:02:11.714
"сох ках тоа" ("soh cah toa").

00:02:11.714 --> 00:02:13.120
сох (soh)...

00:02:13.120 --> 00:02:16.464
...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням

00:02:16.464 --> 00:02:18.786
учителя си по тригонометрия.

00:02:18.786 --> 00:02:21.293
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква

00:02:21.293 --> 00:02:23.867
индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова,

00:02:23.867 --> 00:02:26.123
но е много полезна мнемоника,

00:02:26.123 --> 00:02:27.564
така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa).

00:02:27.564 --> 00:02:31.046
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.

00:02:31.046 --> 00:02:34.436
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.

00:02:34.436 --> 00:02:37.965
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!"

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса,

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
частта "ках" ни казва

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?

00:02:55.798 --> 00:02:57.702
Знаем, че хипотенузата

00:02:57.702 --> 00:03:00.767
е тази страна ето тук.

00:03:00.767 --> 00:03:04.761
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не

00:03:04.761 --> 00:03:07.133
е хипотенузата, това е тази, която е 4.

00:03:07.133 --> 00:03:10.473
Прилежащата страна тук, ето тази страна,

00:03:10.473 --> 00:03:14.374
буквално е точно до ъгъла,

00:03:14.374 --> 00:03:15.754
тя е една от страните, която оформя ъгъла.

00:03:15.754 --> 00:03:17.133
Това е 4 върху хипотенузата.

00:03:17.133 --> 00:03:21.108
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.

00:03:21.108 --> 00:03:25.380
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.

00:03:25.380 --> 00:03:29.142
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,

00:03:29.142 --> 00:03:32.625
че не искат да има ирационално число в знаменателя

00:03:32.625 --> 00:03:35.227
като например корен квадратен от 65,

00:03:35.227 --> 00:03:39.359
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,

00:03:39.359 --> 00:03:41.634
можеш да умножиш числителя и знаменателя

00:03:41.634 --> 00:03:43.306
по корен квадратен от 65.

00:03:43.306 --> 00:03:45.094
Това очевидно няма да промени числото,

00:03:45.094 --> 00:03:48.122
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,

00:03:48.122 --> 00:03:49.111
тоест, умножаваме числото по едно.

00:03:49.111 --> 00:03:52.780
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
Числителят става

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
4 по корен квадратен от 65,

00:03:57.800 --> 00:04:03.461
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.

00:04:03.461 --> 00:04:07.130
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.

00:04:07.130 --> 00:04:09.777
Нека направим другите тригонометрични функции

00:04:09.777 --> 00:04:12.401
или поне другите най-важни тригонометрични функции.

00:04:12.401 --> 00:04:14.399
В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях,

00:04:14.399 --> 00:04:15.443
но те произлизат от тези.

00:04:15.443 --> 00:04:19.733
Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа".

00:04:19.733 --> 00:04:25.474
"Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

00:04:25.474 --> 00:04:29.200
Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата.

00:04:29.200 --> 00:04:31.372
Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата?

00:04:31.372 --> 00:04:34.390
Коя страна е противоположна за този ъгъл?

00:04:34.390 --> 00:04:38.430
Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата,

00:04:38.430 --> 00:04:41.200
така че противоположната страна е 7.

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
Това тук е противоположната страна

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата.

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
Хипотенузата е корен квадратен от 65.

00:04:51.109 --> 00:04:52.966
Корен квадратен от 65.

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
Отново, ако искаме да рационализираме това,

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65,

00:04:59.933 --> 00:05:04.298
като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65,

00:05:04.298 --> 00:05:07.966
а в знаменателя просто отново ще получим 65.

00:05:07.966 --> 00:05:10.474
Нека направим тангенса!

00:05:10.474 --> 00:05:12.796
Нека изчислим тангенса.

00:05:12.796 --> 00:05:14.793
Ако искам да откриеш

00:05:14.793 --> 00:05:17.394
тангенса на тита,

00:05:17.394 --> 00:05:20.784
отново погледни към "сох ках тоа".

00:05:20.784 --> 00:05:23.106
Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса,

00:05:23.106 --> 00:05:24.800
казва ни...

00:05:24.800 --> 00:05:27.053
казва ни, че тангенсът

00:05:27.053 --> 00:05:29.867
е равен на отсрещната страна върху прилежащата,

00:05:29.867 --> 00:05:33.137
равен е на противоположната страна

00:05:33.137 --> 00:05:35.867
върху прилежащата.

00:05:35.867 --> 00:05:38.709
Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това.

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата.

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
Противоположен е на седмицата.

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща.

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
Прилежащата страна е тази, която е 4.

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4,

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
така че това е 7 върху 4

00:05:54.330 --> 00:05:56.133
и сме готови.

00:05:56.133 --> 00:05:59.375
Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример.

00:05:59.375 --> 00:06:00.416
Нека направим още един пример.

00:06:00.416 --> 00:06:02.719
Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме:

00:06:02.719 --> 00:06:06.434
"какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни.

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
Да кажем...

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник,

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
ето го тук.

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници.

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4.

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3.

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
Можем да се уверим, че това върши работа.

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това №

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
(2 по корен квадратен от три) на квадрат

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
плюс 2 на квадрат, на колко е равно това?

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
Това е 2. Ще имаш 4 по 2.

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
4 по 3 плюс 4,

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16,

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците,

00:07:06.133 --> 00:07:07.781
което може би изучава по геометрия,

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90.

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
Тази страна тук е правият ни ъгъл –

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник –

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл,

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
а този ъгъл тук горе е

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
60-градусов ъгъл

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
и това е 30-60-90, понеже

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата,

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна,

00:07:36.800 --> 00:07:38.432
която не е хипотенузата.

00:07:38.432 --> 00:07:40.159
Като казахме това, няма да...

00:07:40.159 --> 00:07:43.415
това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това.

00:07:43.415 --> 00:07:46.933
Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли.

00:07:46.933 --> 00:07:51.295
Да кажем, че някой те попита

00:07:51.295 --> 00:07:54.639
какъв е синусът на 30 градуса.

00:07:54.639 --> 00:07:58.447
Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо

00:07:58.447 --> 00:08:01.698
винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник.

00:08:01.698 --> 00:08:05.135
Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса,

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
и просто трябва да си спомним "сох ках тоа".

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
Презаписваме го. Сох, ках, тоа.

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
Синусът на 30 градуса е противоположната страна,

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
това е тази, която е 2, върху хипотенузата.

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
Тук хипотенузата е 4.

00:08:32.395 --> 00:08:35.646
Това е 2/4, което е същото като 1/2.

00:08:35.646 --> 00:08:40.800
Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2.

00:08:40.800 --> 00:08:44.144
Какъв е косинусът?

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
Какъв е косинусът на 30 градуса?

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа".

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
"Ках" ни казва какво да правим с косинуса.

00:08:52.643 --> 00:08:56.033
Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата.

00:08:56.033 --> 00:08:59.051
Прилежащата към 30 градуса

00:08:59.051 --> 00:09:01.791
е тази тук, точно до ъгъла.

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата.

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
Тоест, 2 корен квадратен от 3

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
върху хипотенузата...върху 4.

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
и получаваме корен квадратен от 3 върху 2.

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
Последно, нека намерим тангенса.

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
Тангенсът на 30 градуса,

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
връщаме се към "сох ках тоа".

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
Сох ках тоа.

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
"Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата.

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса.

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
Отсрещната (противоположната) е 2,

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
а прилежащата е 2 корен квадратен от 2.

00:09:46.200 --> 00:09:48.045
Тя е точно до него. Тя е прилежаща.

00:09:48.045 --> 00:09:49.439
Прилежаща означава, че е до него.

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
2 корен квадратен от 3,

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно –

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
1 върху корен квадратен от 3.

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3.

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3,

00:10:08.804 --> 00:10:12.473
а знаменателят ще е равен просто на 3.

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3.

00:10:15.800 --> 00:10:17.442
Добре.

00:10:17.442 --> 00:10:20.693
Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса,

00:10:20.693 --> 00:10:22.457
след като вече го начертахме.

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
Какъв е синусът на 60 градуса?

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
Надявам се, че вече започваш да разбираш.

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа".

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл?

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
Той гледа към 2 корен квадратен от 3,

00:10:39.315 --> 00:10:42.566
тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
и от 60-градусовия ъгъл...

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
това е отсрещната страна върху хипотенузата.

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
Противоположната страна върху хипотенузата,

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4.

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2.

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
Какъв е косинусът на 60 градуса?

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата.

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл.

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
Той е 2 върху хипотенузата, която е 4.

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
Това е равно на 1/2.

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
Последно, какъв е тангенсът?

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
Какъв е тангенсът на 60 градуса?

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
"Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата.

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
Отсрещната (противоположната) на 60 градуса

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
е 2 корен квадратен от 3.

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
2 корен квадратен от 3.

00:11:38.000 --> 00:11:39.919
Прилежащата на този ъгъл

00:11:39.919 --> 00:11:42.733
е 2.

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
Прилежащата на 60 градуса е 2.

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2,

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
което просто е равно на корен квадратен от 3.

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
Просто исках да ти покажа как тези са свързани –

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса.

00:11:57.984 --> 00:12:01.333
Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса,

00:12:01.333 --> 00:12:03.966
а тези са обратни едно на друго

00:12:03.966 --> 00:12:05.635
и ако малко повече помислиш върху този триъгълник,

00:12:05.635 --> 00:12:07.105
ще видиш защо това е логично.

00:12:07.105 --> 00:12:08.461
Ще продължаваме да наблягаме на това

00:12:08.461 --> 00:12:11.098
и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.