0:00:00.800,0:00:03.017
Хайде да направим още много примери,

0:00:03.017,0:00:07.036
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.

0:00:07.036,0:00:11.447
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника.

0:00:11.447,0:00:13.668
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,

0:00:13.668,0:00:15.186
като искам добре да поясня...

0:00:15.186,0:00:18.042
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.

0:00:18.042,0:00:23.475
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,

0:00:23.475,0:00:25.704
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,

0:00:25.704,0:00:27.867
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.

0:00:27.867,0:00:31.344
Да кажем, че имам един триъгълник,

0:00:31.344,0:00:33.897
при който дължината тук долу е 7,

0:00:33.897,0:00:37.757
а дължината на тази страна тук горе

0:00:37.757,0:00:39.452
е, да кажем, 4.

0:00:39.452,0:00:42.516
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.

0:00:42.516,0:00:45.720
Наричаме хипотенузата h – знаем,

0:00:45.720,0:00:52.200
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,

0:00:52.200,0:00:55.194
като знаем това от теоремата на Питагор,

0:00:55.194,0:00:57.469
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на

0:00:57.469,0:01:01.974
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.

0:01:01.974,0:01:04.533
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.

0:01:04.533,0:01:09.776
Това е равно на 49 плюс 16,

0:01:09.776,0:01:11.800
49 плюс 16,

0:01:11.800,0:01:18.553
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.

0:01:18.553,0:01:21.107
Това е 65. Това е h на квадрат,

0:01:21.107,0:01:25.705
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –

0:01:25.705,0:01:28.818
h на квадрат е равно на 65.

0:01:28.818,0:01:33.533
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65

0:01:33.533,0:01:37.600
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –

0:01:37.600,0:01:39.200
корен квадратен

0:01:39.200,0:01:42.933
от 65. И изобщо не можем да опростим това.

0:01:42.933,0:01:44.699
Това е 13.

0:01:44.699,0:01:47.463
Това е същото като 13 по 5,

0:01:47.463,0:01:50.388
като и двете от тези не са точни квадрати и

0:01:50.388,0:01:51.804
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.

0:01:51.804,0:01:55.467
Това е равно на корен квадратен от 65.

0:01:55.467,0:02:02.114
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.

0:02:02.114,0:02:05.457
Нека наречем този ъгъл тита.

0:02:05.457,0:02:06.533
Когато правиш това,

0:02:06.533,0:02:09.467
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –

0:02:09.467,0:02:11.714
"сох ках тоа" ("soh cah toa").

0:02:11.714,0:02:13.120
сох (soh)...

0:02:13.120,0:02:16.464
...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням

0:02:16.464,0:02:18.786
учителя си по тригонометрия.

0:02:18.786,0:02:21.293
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква

0:02:21.293,0:02:23.867
индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова,

0:02:23.867,0:02:26.123
но е много полезна мнемоника,

0:02:26.123,0:02:27.564
така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa).

0:02:27.564,0:02:31.046
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.

0:02:31.046,0:02:34.436
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.

0:02:34.436,0:02:37.965
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!"

0:02:37.965,0:02:40.800
Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса,

0:02:40.800,0:02:43.027
частта "ках" ни казва

0:02:43.027,0:02:46.371
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.

0:02:46.371,0:02:51.433
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.

0:02:51.433,0:02:55.798
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?

0:02:55.798,0:02:57.702
Знаем, че хипотенузата

0:02:57.702,0:03:00.767
е тази страна ето тук.

0:03:00.767,0:03:04.761
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не

0:03:04.761,0:03:07.133
е хипотенузата, това е тази, която е 4.

0:03:07.133,0:03:10.473
Прилежащата страна тук, ето тази страна,

0:03:10.473,0:03:14.374
буквално е точно до ъгъла,

0:03:14.374,0:03:15.754
тя е една от страните, която оформя ъгъла.

0:03:15.754,0:03:17.133
Това е 4 върху хипотенузата.

0:03:17.133,0:03:21.108
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.

0:03:21.108,0:03:25.380
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.

0:03:25.380,0:03:29.142
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,

0:03:29.142,0:03:32.625
че не искат да има ирационално число в знаменателя

0:03:32.625,0:03:35.227
като например корен квадратен от 65,

0:03:35.227,0:03:39.359
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,

0:03:39.359,0:03:41.634
можеш да умножиш числителя и знаменателя

0:03:41.634,0:03:43.306
по корен квадратен от 65.

0:03:43.306,0:03:45.094
Това очевидно няма да промени числото,

0:03:45.094,0:03:48.122
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,

0:03:48.122,0:03:49.111
тоест, умножаваме числото по едно.

0:03:49.111,0:03:52.780
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.

0:03:52.780,0:03:54.127
Числителят става

0:03:54.127,0:03:57.800
4 по корен квадратен от 65,

0:03:57.800,0:04:03.461
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.

0:04:03.461,0:04:07.130
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.

0:04:07.130,0:04:09.777
Нека направим другите тригонометрични функции

0:04:09.777,0:04:12.401
или поне другите най-важни тригонометрични функции.

0:04:12.401,0:04:14.399
В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях,

0:04:14.399,0:04:15.443
но те произлизат от тези.

0:04:15.443,0:04:19.733
Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа".

0:04:19.733,0:04:25.474
"Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

0:04:25.474,0:04:29.200
Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата.

0:04:29.200,0:04:31.372
Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата?

0:04:31.372,0:04:34.390
Коя страна е противоположна за този ъгъл?

0:04:34.390,0:04:38.430
Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата,

0:04:38.430,0:04:41.200
така че противоположната страна е 7.

0:04:41.200,0:04:44.468
Това тук е противоположната страна

0:04:44.468,0:04:47.800
и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата.

0:04:47.800,0:04:51.109
Хипотенузата е корен квадратен от 65.

0:04:51.109,0:04:52.966
Корен квадратен от 65.

0:04:52.966,0:04:55.133
Отново, ако искаме да рационализираме това,

0:04:55.133,0:04:59.933
можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65,

0:04:59.933,0:05:04.298
като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65,

0:05:04.298,0:05:07.966
а в знаменателя просто отново ще получим 65.

0:05:07.966,0:05:10.474
Нека направим тангенса!

0:05:10.474,0:05:12.796
Нека изчислим тангенса.

0:05:12.796,0:05:14.793
Ако искам да откриеш

0:05:14.793,0:05:17.394
тангенса на тита,

0:05:17.394,0:05:20.784
отново погледни към "сох ках тоа".

0:05:20.784,0:05:23.106
Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса,

0:05:23.106,0:05:24.800
казва ни...

0:05:24.800,0:05:27.053
казва ни, че тангенсът

0:05:27.053,0:05:29.867
е равен на отсрещната страна върху прилежащата,

0:05:29.867,0:05:33.137
равен е на противоположната страна

0:05:33.137,0:05:35.867
върху прилежащата.

0:05:35.867,0:05:38.709
Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това.

0:05:38.709,0:05:41.124
Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата.

0:05:41.124,0:05:42.533
Противоположен е на седмицата.

0:05:42.533,0:05:46.372
Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща.

0:05:46.372,0:05:48.200
Прилежащата страна е тази, която е 4.

0:05:48.200,0:05:51.295
Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4,

0:05:51.295,0:05:54.330
така че това е 7 върху 4

0:05:54.330,0:05:56.133
и сме готови.

0:05:56.133,0:05:59.375
Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример.

0:05:59.375,0:06:00.416
Нека направим още един пример.

0:06:00.416,0:06:02.719
Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме:

0:06:02.719,0:06:06.434
"какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни.

0:06:06.434,0:06:08.431
Да кажем...

0:06:08.431,0:06:10.799
Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник,

0:06:10.799,0:06:13.772
ето го тук.

0:06:13.772,0:06:17.533
Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници.

0:06:17.533,0:06:21.109
Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4.

0:06:21.109,0:06:26.357
Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2

0:06:26.357,0:06:31.790
и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3.

0:06:31.790,0:06:33.462
Можем да се уверим, че това върши работа.

0:06:33.462,0:06:36.467
Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това №

0:06:36.467,0:06:38.803
(2 по корен квадратен от три) на квадрат

0:06:38.803,0:06:42.471
плюс 2 на квадрат, на колко е равно това?

0:06:42.471,0:06:46.467
Това е 2. Ще имаш 4 по 2.

0:06:46.467,0:06:49.763
4 по 3 плюс 4,

0:06:49.763,0:06:53.478
а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16,

0:06:53.478,0:06:57.800
а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на

0:06:57.800,0:07:01.790
4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема

0:07:01.790,0:07:06.133
и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците,

0:07:06.133,0:07:07.781
което може би изучава по геометрия,

0:07:07.781,0:07:11.450
може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90.

0:07:11.450,0:07:13.133
Тази страна тук е правият ни ъгъл –

0:07:13.133,0:07:15.867
трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник –

0:07:15.867,0:07:20.366
този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл,

0:07:20.366,0:07:23.385
а този ъгъл тук горе е

0:07:23.385,0:07:26.125
60-градусов ъгъл

0:07:26.125,0:07:27.797
и това е 30-60-90, понеже

0:07:27.797,0:07:31.791
противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата,

0:07:31.791,0:07:36.800
а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна,

0:07:36.800,0:07:38.432
която не е хипотенузата.

0:07:38.432,0:07:40.159
Като казахме това, няма да...

0:07:40.159,0:07:43.415
това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това.

0:07:43.415,0:07:46.933
Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли.

0:07:46.933,0:07:51.295
Да кажем, че някой те попита

0:07:51.295,0:07:54.639
какъв е синусът на 30 градуса.

0:07:54.639,0:07:58.447
Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо

0:07:58.447,0:08:01.698
винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник.

0:08:01.698,0:08:05.135
Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса,

0:08:05.135,0:08:09.035
този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник

0:08:09.035,0:08:12.133
и просто трябва да си спомним "сох ках тоа".

0:08:12.133,0:08:17.116
Презаписваме го. Сох, ках, тоа.

0:08:17.116,0:08:22.782
Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

0:08:22.782,0:08:26.358
Синусът на 30 градуса е противоположната страна,

0:08:26.358,0:08:30.723
това е тази, която е 2, върху хипотенузата.

0:08:30.723,0:08:32.395
Тук хипотенузата е 4.

0:08:32.395,0:08:35.646
Това е 2/4, което е същото като 1/2.

0:08:35.646,0:08:40.800
Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2.

0:08:40.800,0:08:44.144
Какъв е косинусът?

0:08:44.144,0:08:46.867
Какъв е косинусът на 30 градуса?

0:08:46.867,0:08:50.135
Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа".

0:08:50.135,0:08:52.643
"Ках" ни казва какво да правим с косинуса.

0:08:52.643,0:08:56.033
Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата.

0:08:56.033,0:08:59.051
Прилежащата към 30 градуса

0:08:59.051,0:09:01.791
е тази тук, точно до ъгъла.

0:09:01.791,0:09:05.467
Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата.

0:09:05.467,0:09:09.129
Тоест, 2 корен квадратен от 3

0:09:09.129,0:09:13.633
върху хипотенузата...върху 4.

0:09:13.633,0:09:16.977
Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2

0:09:16.977,0:09:20.646
и получаваме корен квадратен от 3 върху 2.

0:09:20.646,0:09:22.782
Последно, нека намерим тангенса.

0:09:22.782,0:09:27.800
Тангенсът на 30 градуса,

0:09:27.800,0:09:30.305
връщаме се към "сох ках тоа".

0:09:30.305,0:09:31.699
Сох ках тоа.

0:09:31.699,0:09:34.800
"Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата.

0:09:34.800,0:09:38.804
Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса.

0:09:38.804,0:09:42.101
Отсрещната (противоположната) е 2,

0:09:42.101,0:09:46.200
а прилежащата е 2 корен квадратен от 2.

0:09:46.200,0:09:48.045
Тя е точно до него. Тя е прилежаща.

0:09:48.045,0:09:49.439
Прилежаща означава, че е до него.

0:09:49.439,0:09:52.039
2 корен квадратен от 3,

0:09:52.039,0:09:54.454
тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно –

0:09:54.454,0:09:56.776
1 върху корен квадратен от 3.

0:09:56.776,0:10:00.723
Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3.

0:10:00.723,0:10:05.367
Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3

0:10:05.367,0:10:08.804
и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3,

0:10:08.804,0:10:12.473
а знаменателят ще е равен просто на 3.

0:10:12.473,0:10:15.800
Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3.

0:10:15.800,0:10:17.442
Добре.

0:10:17.442,0:10:20.693
Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса,

0:10:20.693,0:10:22.457
след като вече го начертахме.

0:10:22.457,0:10:28.328
Какъв е синусът на 60 градуса?

0:10:28.328,0:10:30.166
Надявам се, че вече започваш да разбираш.

0:10:30.166,0:10:34.253
Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа".

0:10:34.253,0:10:36.668
Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл?

0:10:36.668,0:10:39.315
Той гледа към 2 корен квадратен от 3,

0:10:39.315,0:10:42.566
тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3

0:10:42.566,0:10:45.306
и от 60-градусовия ъгъл...

0:10:45.306,0:10:47.999
това е отсрещната страна върху хипотенузата.

0:10:47.999,0:10:50.507
Противоположната страна върху хипотенузата,

0:10:50.507,0:10:54.315
тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4.

0:10:54.315,0:10:59.981
Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2.

0:10:59.981,0:11:05.507
Какъв е косинусът на 60 градуса?

0:11:05.507,0:11:10.244
Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата.

0:11:10.244,0:11:13.667
Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл.

0:11:13.667,0:11:17.907
Той е 2 върху хипотенузата, която е 4.

0:11:17.907,0:11:20.972
Това е равно на 1/2.

0:11:20.972,0:11:24.176
Последно, какъв е тангенсът?

0:11:24.176,0:11:27.984
Какъв е тангенсът на 60 градуса?

0:11:27.984,0:11:32.349
"Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата.

0:11:32.349,0:11:34.671
Отсрещната (противоположната) на 60 градуса

0:11:34.671,0:11:36.400
е 2 корен квадратен от 3.

0:11:36.400,0:11:38.000
2 корен квадратен от 3.

0:11:38.000,0:11:39.919
Прилежащата на този ъгъл

0:11:39.919,0:11:42.733
е 2.

0:11:42.733,0:11:44.800
Прилежащата на 60 градуса е 2.

0:11:44.800,0:11:48.650
Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2,

0:11:48.650,0:11:52.644
което просто е равно на корен квадратен от 3.

0:11:52.644,0:11:54.641
Просто исках да ти покажа как тези са свързани –

0:11:54.641,0:11:57.984
синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса.

0:11:57.984,0:12:01.333
Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса,

0:12:01.333,0:12:03.966
а тези са обратни едно на друго

0:12:03.966,0:12:05.635
и ако малко повече помислиш върху този триъгълник,

0:12:05.635,0:12:07.105
ще видиш защо това е логично.

0:12:07.105,0:12:08.461
Ще продължаваме да наблягаме на това

0:12:08.461,0:12:11.098
и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.