Örnek.
İşlemi yapın ve cevabı tamsayılı bir kesir olarak yazın.
Burada 3 tamsayılı kesirimiz var: 3 tam 1 bölü 2, artı, 11 tam 2 bölü 5, artı, 4 tam 3 bölü 15.
.
Bu sayıları 3 artı 1 bölü 12, artı 11 artı 2 bölü 5-- şunları yazalım.
.
Yani bu işlem 3 artı 1 bölü 12, artı 11 artı 2 bölü 5, artı, 4 artı 3 bölü 15 işlemine eşittir.
.
Yani, 3 tam 1 bölü 12 tamsayısı aslında 3 artı 1 bölü 12'ye eşittir.
.
Aslında sadece birkaç sayıyla toplama işlemi yaptığımız için sıranın hiçbir önemi kalmadı.
.
Yani öncelikle 3'ü, 11'i ve 4'ü toplayıp; daha sonra da 1 bölü 12, 2 bölü 5 ve 3 bölü 15 kesirlerini toplayabiliriz.
.
Mavi kısımlar gayet net.
Sadece basit bir toplama işlemi yapıyoruz.
3 artı 11, 14' tür.
14'e de 4 eklersek 18 eder.
Bu işlem biraz daha zor olacak, çünkü biliyoruz ki kesirlerle toplama yaparken paydaların eşit olması gerekir.
.
Şimdi bu 3 sayının da eşit bir paydaya sahip olmasını sağlamalıyız.
.
Bunun için 12, 5 ve 15'in en küçük ortak katını bulmalıyız.
Bunu direkt olarak hesaplayabiliriz.
Sadece bu sayıların katlarına bakmamız yeterli olacaktır.
Bu paydalardan birini seçip, katlarına bakıp, diğer iki paydaya da bölünen en küçük katını seçebiliriz.
.
Ya da sadece bu sayıları asal çarpanlarına ayırıp, bu üç sayının da bütün asal çarpanlarını sahip olan en küçük ortak katı bulabiliriz.
.
Size neden bahsettiğimi göstereyim.
12'yi asal çarpanlarına ayıralım.
12 eşittir 2 çarpı 6, 6 eşittir 2 çarpı 3; yani 12, 2 çarpı 2 çarpı 3'e eşittir.
Bu 12'nin asal çarpanlarına ayrılışıydı.
Şimdi de 5 asal çarpanlarına ayıralım diyeceğim ama 5 sadece 5 çarpı 1'e eşittir ve 5 zaten asal bir sayıdır.
.
Bu da 5'in asal çarpanlarına ayrılışıydı.
Yani sadece 5.
1 kullanmak anlamsız.
Yani 5, 5'tir.
Şimdi 15'i yapalım.
5'i asal çarpanlarına ayırdığımızda da dediğimiz gibi 5 asal bir sayıdır.
.
Onu 1'den daha büyük olan ve bölen kendisinden başka bölen bir sayı yok.
Yani onu asal çarpanlarına ayırmaya çalışmak anlamsız.
Şimdi de 15'i çarpanlarına ayıralım.
15 3 çarpı 5'e eşittir ki bu iki çarpan da asal sayılar.
Bizim paydamızda 2 tane 2 ve 1 tane 3 olması gerekli.
.
Hadi bu 2 tane 2'yi ve 1 tane 3'ü yazalım.
.
Yani 2 çarpı 2 çarpı 3 olması gerekli.
İçinde bu çarpana sahip olmak zorunda.
Bu sayı aynı zamanda 5 çarpanına da sahip olmalı, değil mi?
Çünkü aradığımız sayı 5'in de katı olmalı.
5 lazım, çünkü o gerekli olan asal çarpanlardan biri.
.
Şu ana kadar içinde 5 yoktu.
Bu sayının 5'in dışında 3'ü de barındırması gerek.
Dediğimiz gibi zaten 5'imiz var.
Bu 5, 5'ten gelmişti ve 12'den gelen bir 3'ümüz de var.
Şimdi çarpanlarını bulduğumuz bu sayı diğer bütün sayılar tarafından bölünebilir.
.
Çünkü içinde çarpan olarak en az bir 12, bir 5 ve bir 15 var.
Peki sayımız ne?
2 kere 2, 4'e eşittir.
4 kere 3 de 12'ye eşittir.
12 kere 5, 60'a eşittir.
Yani 12, 15 ve 5'in en küçük ortak katı 60'tır.
Bu bir toplama işlemi olacak.
Bu sayıların paydası 60 olacak.
Yani bütün bunları 60'a böleceğiz.
Bütün bu kesirlerin paydası 60.
12'yi 60'a eşitlemek için kesiri 5 ile çarpmalıyız ki bu payda gibi payı da 5 ile çarpmamız gerektiği anlamına gelir.
.
5 kere1, 5 eder.
5 bölü 60, 1 bölü 12 ile aynı şeydir.
Paydadaki 5'i 60'a eşitlemek için kesirin pay ve paydasını 12 ile çarpmalıyız.
.
12 kere 2, 24 eder.
Son olarak da paydadaki 15'i 60'a eşitlemek için, kesirin payını ve paydasını 4 ile çarpmalıyız.
.
4 kere3, 12 eder.
Şimdi bütün kesirlerde aynı paydaya sahibiz.
Toplama işlemi yapmaya hazırız.
Hadi başlayalım.
Burası 18 artı, 5 artı 24'ten 29 bölü 60 var.
.
29 artı 12'yi bulmak için; önce 29 artı 10 buluruz ki bu 39 eder.
Sonra da 39'a 2 toplarız ki bu da 41 eder.
Toplam 41 olacak.
Gördüğüm kadarıyla 41 ve 60'ın ortak bir böleni yok.
.
41 asal bir sayı gibi görünüyor.
Yani sonucumuz 18 tam 41 bölü 60.