Dvadesetih godina 20. veka
nemački matematičar Dejvid Hilbert
smislio je čuveni misaoni eksperiment
da bi nam pokazao kako je teško
zamisliti pojam beskonačnosti.
Zamislite hotel sa beskonačnim brojem soba
i vrlo vrednim noćnim poslovođom.
Jedne noći, Beskonačni hotel je dupke pun,
ceo je popunjen beskonačnim brojem gostiju.
Čovek ulazi u hotel
i traži sobu.
Ne želeći da ga odbije,
noćni poslovođa odlučuje da mu napravi mesta.
Kako?
Lako. Zamoli gosta iz sobe broj 1
da se premesti u sobu broj 2,
gosta iz sobe 2 da pređe u sobu 3
i tako dalje.
Svaki gost prelazi iz sobe "n"
u sobu "n+1".
Pošto ima beskonačan broj soba,
postoji nova soba za svakog postojećeg gosta.
Time ostaje slobodna soba za novu mušteriju.
Ovaj proces se može ponoviti
za svaki konačan broj novih gostiju.
Ako bi, na primer, autobus istovario
40 novih ljudi koji traže sobe,
onda svaki postojeći gost samo pređe
iz sobe broj "n"
u sobu broj "n+40"
i tako se otvori prvih 40 soba.
Ali sada, beskonačno veliki autobus
sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika
pristaje pored hotela.
Prebrojivo beskonačno je ključna stvar.
Beskonačni autobus sa beskonačnim putnicima
zbunjuje poslovođu u prvi mah,
ali onda shvata da postoji način
da smesti sve nove ljude.
Zamoli gosta u sobi 1
da pređe u sobu 2.
Onda zamoli gosta iz sobe 2
da pređe u sobu 4,
gosta iz sobe 3
da pređe u sobu 6
i tako dalje.
Svaki postojeći gost prelazi iz sobe broj "n"
u sobu broj "2n"
popunjavajući samo beskonačan broj parnih soba.
Uradivši ovo, on je ispraznio
sve neparne sobe kojih ima beskonačan broj,
u koje su onda ušli ljudi
koji su izašli iz beskonačnog autobusa.
Svi su zadovoljni i hotel posluje
bolje nego ikad.
U stvari, posluje
sa istom zaradom kao i uvek,
inkasirajući beskonačan broj dolara svake noći.
Priča o ovom neverovatnom hotelu se širi.
Ljudi dolaze sa svih strana.
Jedne noći, dešava se nezamislivo.
Noćni poslovođa gleda napolje
i vidi beskonačnu kolonu
beskonačno velikih autobusa,
svaki sa prebrojivo beskonačnim brojem putnika.
Šta može da uradi?
Ako ne nađe sobe za njih
hotel će izgubiti
beskonačnu sumu novca,
a on će sigurno izgubiti posao.
Srećom, seti se
da je oko 300. godine p.n.e
Euklid dokazao da postoji beskonačan broj
prostih brojeva.
Da bi ispunio ovaj naizgled nemoguć zadatak
da nađe beskonačan broj kreveta za beskonačne autobuse,
pune umornih putnika u beskonačnom broju,
noćni poslovođa dodeljuje svakom već postojećem gostu
prvi prost broj, 2,
stepenovan brojem njihove sobe.
Tako gost iz sobe broj 7
odlazi u sobu broj 2^7 (2 na sedmi),
a to je soba 128.
Poslovođa zatim uzima ljude
iz prvog od beskonačnih autobusa
i dodeljuje im sobu broj:
sledeći prost broj, 3,
stepenovan brojem njihovog sedišta u autobusu.
Tako osoba na sedištu broj 7 u prvom autobusu
odlazi u sobu broj 3^7
to jest u sobu 2.187.
To se nastavlja za ceo prvi autobus.
Putnicima iz drugog autobusa
se dodeljuju eksponenti sledećeg prostog broja, 5.
Sledećem autobusu, eksponenti broja 7.
Sledećim autobusima:
eksponenti broja 11,
eksponenti broja 13,
broja 17 itd.
Pošto svaki od ovih brojeva kao delioce ima
samo 1 i prirodne brojeve eksponente
prostog broja u osnovi,
nema preklapanja brojeva soba.
Svi putnici se raspoređuju po sobama
koristeći jedinstvenu šemu dodeljivanja soba
zasnovanu na jedinstvenim prostim brojevima.
Na ovaj način noćni poslovođa može da smesti
svakog putnika iz svakog autobusa.
Mada, ostaće mnogo nepopunjenih soba,
kao, na primer soba 6
jer 6 nije eksponent nijednog prostog broja.
Srećom, njegovi šefovi nisu bili dobri iz matematike,
tako da nije u opasnosti da izgubi posao.
Strategije noćnog poslovođe su moguće jer,
iako je Beskonačni hotel
sigurno logistička noćna mora,
on samo operiše sa najnižim nivoom beskonačnosti,
uglavnom sa prebrojivom beskonačnošću
prirodnih brojeva:
1, 2, 3, 4 itd.
Georg Kantor je nazvao ovaj nivo beskonačnosti "alef-nula".
Koristimo prirodne brojeve za brojeve soba,
kao i za brojeve sedišta u autobusima.
Ako bismo operisali sa višim nivoima beskonačnosti,
kao što su oni realnih brojeva,
ove strukturirane strategije
ne bi više bile moguće
jer nemamo načina
da sistematski uključimo svaki broj.
Beskonačni hotel realnih brojeva ima
negativne brojeve soba u podrumu,
sobe sa razlomcima,
tako da čovek u sobi broj 1/2 uvek sumnja
da je dobio manju sobu od osobe u sobi 1.
Sobe sa kvadratnim korenom, kao soba "koren iz 2"
i soba "pi",
gde gosti očekuju besplatnu pitu.
Koji poslovođa sa samopoštovanjem
bi hteo da radi tu,
čak i za beskonačnu platu?
Ali u Hilbertovom Beskonačnom hotelu, gde nikad nema praznih soba
i uvek ima mesta za još gostiju,
scenarija sa kojima se suočava uvek marljivi
i možda suviše gostoljubivi poslovođa
služe da nas podsete na to kako je teško
za naše relativno konačne umove
da shvate tako veliki pojam kao što je beskonačnost.
Možda možete da se pozabavite ovim problemima
posle dobrog noćnog sna.
Ali iskreno, možda ćete morati
da promenite sobu u 2 sata noću.