想像有一組人
你覺得組內要有多少人
其中二人生日相同的機率 才會超過 50%？
為了方便討論 假設組內沒有雙胞胎
每個生日的機率均等
不計閏年
現在試想一想
答案或許看來驚人地低
在 23 人的組內
有 50.3% 機率 二人會有相同的生日
但一年 365 日
為何人數如此少的組內
會有過半機會有相同生日的人
為什麼我們的直覺錯得這麼離譜？
要找出答案
就讓我們看看數學家其中一種方法
可用作計算二人擁有相同生日的機率
我們可用一門數學領域 名為組合學
處理不同組合的機率
第一步是反轉問題
嘗試直接計算相同生日的機率 是個挑戰
因為有相同生日的組合很多
相反地，計算每人 都有不同生日就比較容易
這樣如何幫助我們解決問題呢？
組內的人不是有相同生日，就是沒有
所以有相同生日的人的機率 和沒有的機率
加起來必然是 100%
從 100% 減去無相同生日機率 便是有相同生日的機率
要計算沒有相同生日的機率 先考慮人數少的組
計算只有一對人有不同生日的機率
一年中的某日會是 A 君的生日
餘下的 364 天 皆有可能是 B 君的生日
A 和 B，或任意二人 有不同生日的機率
是 365 分之 364
約 0.997 或 99.7% 這是相當高的機率
再考慮 C 君
她在這小組內有不同生日的機率
是 365 分之 363
因為 A 和 B 的生日 已佔兩個日子
D 的機率會是 365 分之 362 如此類推
一直至 W 的機率是 365 分之 343
把這些機率相乘
你會得出沒有人生日相同的機率
得出 0.4927
因此在 23 人的組內 沒有人生日相同的機率是 49.27%
當我們從 100% 減去這機率 便得 50.73%
即至少有二人生日相同的機率
這機率高於一半
人數相對少的組內有人生日相同的 機率如此高的關鍵在於
相同生日的可能組合出人意料地多
當組內人數逐漸增加 可能組合的數目愈快速增加
五人組內有十對可能組合
每人能與其餘四人各自組合
這些組合有一半是重複的
因為把 A 君配以 B 君 等同於把 B 君配以 A 君
所以我們將之除以二
同樣道理
十人組內有 45 對組合
而 23 人的組內有 253 對
組合的數量以平方關係增長
意即它按組內人數的平方比例增長
遺憾地，我們的腦袋不擅於
憑直覺即領會非線性函數
所以 23 人看來不大可能 產生出 253 對可能組合
當我們的腦袋接受這事實 生日問題變得容易理解
253 對組合皆可能有相同生日
同樣原因，在 70 人的組內
有 2,415 對可能組合
而有兩人有相同生日的機率 高於 99.9%
生日問題只是其中一個例子 來藉由數學展示
看似不可能的事情
例如同一人中了兩次彩券
事實上不是不大可能發生的
有時巧合不如看似般巧合