WEBVTT

00:00:10.048 --> 00:00:11.933
想像有一組人

00:00:11.933 --> 00:00:14.304
你覺得組內要有多少人

00:00:14.304 --> 00:00:21.218
其中二人生日相同的機率
才會超過 50%？

00:00:21.218 --> 00:00:24.187
為了方便討論
假設組內沒有雙胞胎

00:00:24.187 --> 00:00:26.748
每個生日的機率均等

00:00:26.748 --> 00:00:29.977
不計閏年

00:00:29.977 --> 00:00:33.049
現在試想一想

00:00:33.049 --> 00:00:35.908
答案或許看來驚人地低

00:00:35.908 --> 00:00:37.708
在 23 人的組內

00:00:37.708 --> 00:00:44.669
有 50.3% 機率
二人會有相同的生日

00:00:44.669 --> 00:00:47.239
但一年 365 日

00:00:47.239 --> 00:00:50.489
為何人數如此少的組內

00:00:50.489 --> 00:00:53.700
會有過半機會有相同生日的人

00:00:53.700 --> 00:00:58.156
為什麼我們的直覺錯得這麼離譜？

00:00:58.156 --> 00:00:59.498
要找出答案

00:00:59.498 --> 00:01:02.219
就讓我們看看數學家其中一種方法

00:01:02.219 --> 00:01:05.219
可用作計算二人擁有相同生日的機率

00:01:05.219 --> 00:01:09.110
我們可用一門數學領域
名為組合學

00:01:09.110 --> 00:01:14.419
處理不同組合的機率

00:01:14.419 --> 00:01:16.690
第一步是反轉問題

00:01:16.690 --> 00:01:20.640
嘗試直接計算相同生日的機率
是個挑戰

00:01:20.640 --> 00:01:25.229
因為有相同生日的組合很多

00:01:25.229 --> 00:01:31.389
相反地，計算每人
都有不同生日就比較容易

00:01:31.389 --> 00:01:32.820
這樣如何幫助我們解決問題呢？

00:01:32.820 --> 00:01:35.741
組內的人不是有相同生日，就是沒有

00:01:35.741 --> 00:01:38.461
所以有相同生日的人的機率
和沒有的機率

00:01:38.461 --> 00:01:41.860
加起來必然是 100%

00:01:41.860 --> 00:01:50.381
從 100% 減去無相同生日機率
便是有相同生日的機率

00:01:50.381 --> 00:01:53.806
要計算沒有相同生日的機率
先考慮人數少的組

00:01:53.806 --> 00:01:58.281
計算只有一對人有不同生日的機率

00:01:58.281 --> 00:02:00.632
一年中的某日會是 A 君的生日

00:02:00.632 --> 00:02:06.022
餘下的 364 天
皆有可能是 B 君的生日

00:02:06.022 --> 00:02:10.592
A 和 B，或任意二人
有不同生日的機率

00:02:10.592 --> 00:02:14.412
是 365 分之 364

00:02:14.412 --> 00:02:20.514
約 0.997 或 99.7%
這是相當高的機率

00:02:20.514 --> 00:02:22.562
再考慮 C 君

00:02:22.562 --> 00:02:25.793
她在這小組內有不同生日的機率

00:02:25.793 --> 00:02:29.532
是 365 分之 363

00:02:29.532 --> 00:02:33.964
因為 A 和 B 的生日
已佔兩個日子

00:02:33.964 --> 00:02:38.582
D 的機率會是 365 分之 362
如此類推

00:02:38.582 --> 00:02:44.474
一直至 W 的機率是 365 分之 343

00:02:44.474 --> 00:02:46.385
把這些機率相乘

00:02:46.385 --> 00:02:50.502
你會得出沒有人生日相同的機率

00:02:50.502 --> 00:02:54.064
得出 0.4927

00:02:54.064 --> 00:03:01.362
因此在 23 人的組內
沒有人生日相同的機率是 49.27%

00:03:01.362 --> 00:03:05.955
當我們從 100% 減去這機率
便得 50.73%

00:03:05.955 --> 00:03:08.701
即至少有二人生日相同的機率

00:03:08.701 --> 00:03:11.955
這機率高於一半

00:03:11.955 --> 00:03:16.144
人數相對少的組內有人生日相同的
機率如此高的關鍵在於

00:03:16.144 --> 00:03:20.325
相同生日的可能組合出人意料地多

00:03:20.325 --> 00:03:26.017
當組內人數逐漸增加
可能組合的數目愈快速增加

00:03:26.017 --> 00:03:29.196
五人組內有十對可能組合

00:03:29.196 --> 00:03:32.905
每人能與其餘四人各自組合

00:03:32.905 --> 00:03:34.835
這些組合有一半是重複的

00:03:34.835 --> 00:03:39.615
因為把 A 君配以 B 君
等同於把 B 君配以 A 君

00:03:39.615 --> 00:03:41.685
所以我們將之除以二

00:03:41.685 --> 00:03:43.045
同樣道理

00:03:43.045 --> 00:03:45.836
十人組內有 45 對組合

00:03:45.836 --> 00:03:49.835
而 23 人的組內有 253 對

00:03:49.835 --> 00:03:52.905
組合的數量以平方關係增長

00:03:52.905 --> 00:03:57.665
意即它按組內人數的平方比例增長

00:03:57.665 --> 00:04:00.966
遺憾地，我們的腦袋不擅於

00:04:00.966 --> 00:04:04.447
憑直覺即領會非線性函數

00:04:04.447 --> 00:04:11.235
所以 23 人看來不大可能
產生出 253 對可能組合

00:04:11.235 --> 00:04:15.267
當我們的腦袋接受這事實
生日問題變得容易理解

00:04:15.267 --> 00:04:20.135
253 對組合皆可能有相同生日

00:04:20.135 --> 00:04:22.897
同樣原因，在 70 人的組內

00:04:22.897 --> 00:04:26.616
有 2,415 對可能組合

00:04:26.616 --> 00:04:33.337
而有兩人有相同生日的機率
高於 99.9%

00:04:33.337 --> 00:04:36.707
生日問題只是其中一個例子
來藉由數學展示

00:04:36.707 --> 00:04:38.917
看似不可能的事情

00:04:38.917 --> 00:04:41.410
例如同一人中了兩次彩券

00:04:41.410 --> 00:04:44.551
事實上不是不大可能發生的

00:04:44.551 --> 00:04:48.868
有時巧合不如看似般巧合