想像有一組人

你覺得組內要有多少人

其中二人生日相同的機率
才會超過 50%？

為了方便討論
假設組內沒有雙胞胎

每個生日的機率均等

不計閏年

現在試想一想

答案或許看來驚人地低

在 23 人的組內

有 50.3% 機率
二人會有相同的生日

但一年 365 日

為何人數如此少的組內

會有過半機會有相同生日的人

為什麼我們的直覺錯得這麼離譜？

要找出答案

就讓我們看看數學家其中一種方法

可用作計算二人擁有相同生日的機率

我們可用一門數學領域
名為組合學

處理不同組合的機率

第一步是反轉問題

嘗試直接計算相同生日的機率
是個挑戰

因為有相同生日的組合很多

相反地，計算每人
都有不同生日就比較容易

這樣如何幫助我們解決問題呢？

組內的人不是有相同生日，就是沒有

所以有相同生日的人的機率
和沒有的機率

加起來必然是 100%

從 100% 減去無相同生日機率
便是有相同生日的機率

要計算沒有相同生日的機率
先考慮人數少的組

計算只有一對人有不同生日的機率

一年中的某日會是 A 君的生日

餘下的 364 天
皆有可能是 B 君的生日

A 和 B，或任意二人
有不同生日的機率

是 365 分之 364

約 0.997 或 99.7%
這是相當高的機率

再考慮 C 君

她在這小組內有不同生日的機率

是 365 分之 363

因為 A 和 B 的生日
已佔兩個日子

D 的機率會是 365 分之 362
如此類推

一直至 W 的機率是 365 分之 343

把這些機率相乘

你會得出沒有人生日相同的機率

得出 0.4927

因此在 23 人的組內
沒有人生日相同的機率是 49.27%

當我們從 100% 減去這機率
便得 50.73%

即至少有二人生日相同的機率

這機率高於一半

人數相對少的組內有人生日相同的
機率如此高的關鍵在於

相同生日的可能組合出人意料地多

當組內人數逐漸增加
可能組合的數目愈快速增加

五人組內有十對可能組合

每人能與其餘四人各自組合

這些組合有一半是重複的

因為把 A 君配以 B 君
等同於把 B 君配以 A 君

所以我們將之除以二

同樣道理

十人組內有 45 對組合

而 23 人的組內有 253 對

組合的數量以平方關係增長

意即它按組內人數的平方比例增長

遺憾地，我們的腦袋不擅於

憑直覺即領會非線性函數

所以 23 人看來不大可能
產生出 253 對可能組合

當我們的腦袋接受這事實
生日問題變得容易理解

253 對組合皆可能有相同生日

同樣原因，在 70 人的組內

有 2,415 對可能組合

而有兩人有相同生日的機率
高於 99.9%

生日問題只是其中一個例子
來藉由數學展示

看似不可能的事情

例如同一人中了兩次彩券

事實上不是不大可能發生的

有時巧合不如看似般巧合