0:00:10.048,0:00:11.933
想像有一組人

0:00:11.933,0:00:14.304
你覺得組內要有多少人

0:00:14.304,0:00:21.218
其中二人生日相同的機率[br]才會超過 50%？

0:00:21.218,0:00:24.187
為了方便討論[br]假設組內沒有雙胞胎

0:00:24.187,0:00:26.748
每個生日的機率均等

0:00:26.748,0:00:29.977
不計閏年

0:00:29.977,0:00:33.049
現在試想一想

0:00:33.049,0:00:35.908
答案或許看來驚人地低

0:00:35.908,0:00:37.708
在 23 人的組內

0:00:37.708,0:00:44.669
有 50.3% 機率[br]二人會有相同的生日

0:00:44.669,0:00:47.239
但一年 365 日

0:00:47.239,0:00:50.489
為何人數如此少的組內

0:00:50.489,0:00:53.700
會有過半機會有相同生日的人

0:00:53.700,0:00:58.156
為什麼我們的直覺錯得這麼離譜？

0:00:58.156,0:00:59.498
要找出答案

0:00:59.498,0:01:02.219
就讓我們看看數學家其中一種方法

0:01:02.219,0:01:05.219
可用作計算二人擁有相同生日的機率

0:01:05.219,0:01:09.110
我們可用一門數學領域[br]名為組合學

0:01:09.110,0:01:14.419
處理不同組合的機率

0:01:14.419,0:01:16.690
第一步是反轉問題

0:01:16.690,0:01:20.640
嘗試直接計算相同生日的機率[br]是個挑戰

0:01:20.640,0:01:25.229
因為有相同生日的組合很多

0:01:25.229,0:01:31.389
相反地，計算每人[br]都有不同生日就比較容易

0:01:31.389,0:01:32.820
這樣如何幫助我們解決問題呢？

0:01:32.820,0:01:35.741
組內的人不是有相同生日，就是沒有

0:01:35.741,0:01:38.461
所以有相同生日的人的機率[br]和沒有的機率

0:01:38.461,0:01:41.860
加起來必然是 100%

0:01:41.860,0:01:50.381
從 100% 減去無相同生日機率[br]便是有相同生日的機率

0:01:50.381,0:01:53.806
要計算沒有相同生日的機率[br]先考慮人數少的組

0:01:53.806,0:01:58.281
計算只有一對人有不同生日的機率

0:01:58.281,0:02:00.632
一年中的某日會是 A 君的生日

0:02:00.632,0:02:06.022
餘下的 364 天[br]皆有可能是 B 君的生日

0:02:06.022,0:02:10.592
A 和 B，或任意二人[br]有不同生日的機率

0:02:10.592,0:02:14.412
是 365 分之 364

0:02:14.412,0:02:20.514
約 0.997 或 99.7%[br]這是相當高的機率

0:02:20.514,0:02:22.562
再考慮 C 君

0:02:22.562,0:02:25.793
她在這小組內有不同生日的機率

0:02:25.793,0:02:29.532
是 365 分之 363

0:02:29.532,0:02:33.964
因為 A 和 B 的生日[br]已佔兩個日子

0:02:33.964,0:02:38.582
D 的機率會是 365 分之 362[br]如此類推

0:02:38.582,0:02:44.474
一直至 W 的機率是 365 分之 343

0:02:44.474,0:02:46.385
把這些機率相乘

0:02:46.385,0:02:50.502
你會得出沒有人生日相同的機率

0:02:50.502,0:02:54.064
得出 0.4927

0:02:54.064,0:03:01.362
因此在 23 人的組內[br]沒有人生日相同的機率是 49.27%

0:03:01.362,0:03:05.955
當我們從 100% 減去這機率[br]便得 50.73%

0:03:05.955,0:03:08.701
即至少有二人生日相同的機率

0:03:08.701,0:03:11.955
這機率高於一半

0:03:11.955,0:03:16.144
人數相對少的組內有人生日相同的[br]機率如此高的關鍵在於

0:03:16.144,0:03:20.325
相同生日的可能組合出人意料地多

0:03:20.325,0:03:26.017
當組內人數逐漸增加[br]可能組合的數目愈快速增加

0:03:26.017,0:03:29.196
五人組內有十對可能組合

0:03:29.196,0:03:32.905
每人能與其餘四人各自組合

0:03:32.905,0:03:34.835
這些組合有一半是重複的

0:03:34.835,0:03:39.615
因為把 A 君配以 B 君[br]等同於把 B 君配以 A 君

0:03:39.615,0:03:41.685
所以我們將之除以二

0:03:41.685,0:03:43.045
同樣道理

0:03:43.045,0:03:45.836
十人組內有 45 對組合

0:03:45.836,0:03:49.835
而 23 人的組內有 253 對

0:03:49.835,0:03:52.905
組合的數量以平方關係增長

0:03:52.905,0:03:57.665
意即它按組內人數的平方比例增長

0:03:57.665,0:04:00.966
遺憾地，我們的腦袋不擅於

0:04:00.966,0:04:04.447
憑直覺即領會非線性函數

0:04:04.447,0:04:11.235
所以 23 人看來不大可能[br]產生出 253 對可能組合

0:04:11.235,0:04:15.267
當我們的腦袋接受這事實[br]生日問題變得容易理解

0:04:15.267,0:04:20.135
253 對組合皆可能有相同生日

0:04:20.135,0:04:22.897
同樣原因，在 70 人的組內

0:04:22.897,0:04:26.616
有 2,415 對可能組合

0:04:26.616,0:04:33.337
而有兩人有相同生日的機率[br]高於 99.9%

0:04:33.337,0:04:36.707
生日問題只是其中一個例子[br]來藉由數學展示

0:04:36.707,0:04:38.917
看似不可能的事情

0:04:38.917,0:04:41.410
例如同一人中了兩次彩券

0:04:41.410,0:04:44.551
事實上不是不大可能發生的

0:04:44.551,0:04:48.868
有時巧合不如看似般巧合