Tưởng tượng có một nhóm người.
Bạn nghĩ nhóm này cần có bao nhiêu người
để xảy ra khả năng hơn 50% hai người trong cùng nhóm
có cùng ngày sinh?
Ở đây giả sử rằng sẽ không có bất cứ một cặp song sinh nào,
các ngày sinh có khả năng xuất hiện ngang nhau,
và không tính các năm nhuận.
Nghĩ một lát về điều này nhé.
Kết quả có vẻ sẽ thấp đến kinh ngạc.
Trong một nhóm 23 người,
có 50.73% khả năng hai người sẽ trùng ngày sinh.
Nhưng với 365 ngày mỗi năm,
làm sao một nhóm nhỏ như thế
lại xuất hiện những cặp trùng ngày sinh?
Tại sao trực giác của chúng ta lại nhầm lẫn như thế?
Để tìm ra câu trả lời,
hãy xem cách mà một nhà toán học
có thể dùng để tính ra số cặp trùng ngày sinh.
Ta có thể sử dụng phép tổ hợp,
phép toán chuyên tìm ra khả năng của các kết hợp khác nhau.
Bước trước tiên là lật ngược vấn đề.
Cố gắng tính xác suất cặp trùng nhau theo cách trực tiếp là rất khó
vì có rất nhiều cách để bạn gặp được một cặp trùng ngày sinh trong nhóm.
Thay vào đó, tính khả năng khác ngày sinh sẽ dễ hơn.
Việc đó thì có ích gì?
Trong nhóm, hoặc sẽ có một cặp trùng nhau, hoặc là không,
vậy tỉ lệ số cặp trùng nhau và số cặp không
cộng lại sẽ phải đạt 100%.
Có nghĩa là ta có thể tìm được một cặp trùng ngày
bằng cách lấy 100% trừ đi xác suất của các cặp không trùng.
Để tính ra số cặp không trùng, hãy bắt đầu từ khả năng nhỏ nhất.
Ta sẽ tính xác suất chỉ một cặp có ngày sinh khác nhau.
Một ngày của năm sẽ là sinh nhật của người A,
thì sẽ có 364 phương án ngày sinh cho người B.
Khả năng ngày sinh khác nhau của A và B hay bất kì cặp nào khác,
là 364/365.
vào khoảng 0.997 hay 99.7%, khá cao nhỉ.
Giờ hãy thêm một người nữa, tạm gọi là C.
Khả năng cô ấy có sinh nhật khác với hai người còn lại
là 363/365
vì đã có hai ngày sinh thuộc về A và B.
Xác suất của D sẽ là 362/365, và cứ thế,
đến trường hợp của W sẽ là 343/365.
Nhân tất cả những trường hợp này lại,
bạn sẽ tính được khả năng sẽ không có ai trùng ngày sinh.
Kết quả là 0.4927,
vậy có 49.27% khả năng sẽ không ai trong nhóm 23 người này trùng ngày sinh.
Khi trừ số này ra khỏi 100, ta được 50.73% khả năng
có ít nhất một cặp trùng,
tức là quá bán.
Mấu chốt của xác suất cặp trùng nhau cao như vậy trong một nhóm khá nhỏ
là số cặp có thể tạo ra lớn đến không ngờ.
Khi nhóm càng đông, cách ghép cặp ngày càng nhiều và tăng càng nhanh.
Một nhóm năm người sẽ có mười cặp.
Mỗi người trong nhóm này có thể cặp với bất kì ai trong bốn người còn lại.
Nửa số cặp sẽ bị thừa
vì cặp người A với người B cũng chính là cặp người B với người A,
nên chúng ta sẽ chia đôi.
Chính vì thế,
một nhóm 10 người sẽ có 45 cặp,
và một nhóm 23 người sẽ là 253.
Số cặp sẽ tăng lên theo lũy thừa hai,
nghĩa là sẽ tương đương với bình phương số người trong nhóm.
Không may, não của chúng ta lại rất kém
trong trực giác về các vấn đề phi tuyến tính.
Thế nên ban đầu 23 người có vẻ không thể cho ta tới 253 cặp nhau.
Nhưng một khi não chấp nhận điều đó, bài toán ngày sinh trở nên có lí.
Mỗi cặp trong số 253 cặp này có khả năng tạo ra một cặp trùng.
Với lí do đó, trong một nhóm 70 người,
sẽ có tới 2415 cặp có thể xảy ra,
và khả năng hai người trùng ngày sinh sẽ nhiều hơn 99.9%.
Bài toán ngày sinh chỉ là một trong những ví dụ mà toán học cho ta thấy
rằng những điều nghe có vẻ như bất khả,
như việc ai đó trúng số đến hai lần,
thực tế lại không hẳn là không thể.
Đôi khi, những sự trùng hợp lại không hoàn toàn ngẫu nhiên.