Уявіть собі групу людей.
Наскільки великою, на вашу думку, має бути група,
коли ймовірність, що у двох людей в групі
буде однакова дата народження, сягне 50%?
Припустимо заради чистоти фактів, що там нема близнюків,
що кожен день народження є цілком однаковим,
і будемо ігнорувати високосні роки.
Подумайте про це на хвилинку.
Числа будуть навдивовижу низькими.
В групі із 23-ох осіб,
шанс, що у двох людей буде однакова дата народження дорівнюватиме 50.73%.
Але коли у році 365 днів,
хіба можливо що у такої малої групи
взагалі є шанс мати спільну дату народження?
Чому наша інтуїція так помиляється?
Щоб розрахувати відповідь,
давайте розглянемо спосіб, яким математик
може вирахувати шанси на співпадіння дат.
Ми можемо використати розділ математики, відомий як комбінаторика,
котрий має справу з ймовірностями.
Перший крок - це переглянути проблему.
Спроба безпосередньо розрахувати шанси на співпадіння є складним завданням,
бо існує чимало способів отримати співпадіння в групі.
Натомість, простіше підрахувати випадки, коли у кожного різна дата народження.
Як це допоможе?
Чи є, чи немає співпадіння в даті народження,
та шанси на співпадіння і шанси на неспівпадіння
потрібно дотати до 100%.
Це означає, що ми можемо знайти ймовірність співпадіння
віднімаючи ймовірність неспівпадіння від 100.
Щоб розрахувати шанси на неспівпадіння потрібно почати з простого.
Розрахувати шанси, що лише у однієї пари будуть різні дати народження.
Один день у році буде днем народження особи А,
що лишає 364 інших можливих дні народження для особи Б.
Ймовірність різних днів народження для А та Б чи іншої пари людей,
буде 364 з 365,
приблизно 0,997 чи 99,7% досить висока.
Додамо особу В.
Ймовірність, що у неї унікальна дата народження у цій малій групі
буде 363 з 365,
бо вже є дві дати народження, підраховані для А та Б.
Коли додати Д, то буде 362 з 365, і так далі,
на шляху до Я, шанси будуть 343 з 365.
Помножте всі ці числа разом
і ви отримаєте ймовірність, що ні в кого не співпадає день народження.
Це приводить до числа 0,4927,
тож ймовірність, що у групі з 23 людей однакова дата народження буде 49.27%.
Коли ми віднімемо це від 100, то отримаємо шанс в 50.73%,
принаймні на співпадіння однієї дати народження,
це краще, ніж імовірність.
Ключ до такої високої ймовірності співпадінь в досить малій групі
полягає в дивовижно великій кількості можливих пар.
При зростанні групи, число можливих комбінацій зростатиме набагато швидше.
У групи з п'яти людей буде десять можливих пар.
Кожен з п'яти осіб може скласти пару іншому з чотирьох.
Половина з цих п'яти комбінацій є зайвими,
оскільки пара із А та Б, те саме, що і пара Б та А,
тож ми розділимо на два.
І з тими ж міркуваннями,
група з десяти людей має 45 пар,
а група з 23 має 253 пари.
Число пар зростає квадратично,
тобто пропорційно кількості людей в групі у квадраті.
На жаль, нашому мозку дуже погано
вдається сприймати нелінійні функції.
Спершу здається неймовірним, що з 23 людей можна зробити 253 ймовірні пари.
Як тільки наш мозок прийме це, то проблема з днем народження видасться зрозумілішою.
У кожної з 253 пар буде шанс на співпадіння в даті.
З тієї ж самої причини, в групі із 70 людей
буде 2415 можливих пар,
і ймовірність, що двоє людей матимуть однаковий день народження більша, ніж 99.9%.
Проблема днів народження - лише приклад, коли співпадіння може показати,
що речі, котрі видаються неможливими,
як одна людина, котра виграє двічі в лотерею,
власне, не такі вже і неймовірні.
Іноді співпадіння не такі вже і випадкові.