WEBVTT

00:00:09.728 --> 00:00:11.683
Bir grup insan düşünün.

00:00:11.683 --> 00:00:16.204
Gruptaki iki insanın aynı doğum gününe
sahip olma ihtimalinin

00:00:16.204 --> 00:00:18.568
%50'den fazla olması için

00:00:18.568 --> 00:00:21.218
grubun ne kadar büyük olması gerekir?

00:00:21.218 --> 00:00:24.187
Grupta hiç ikizin bulunmadığını,

00:00:24.187 --> 00:00:26.748
her doğum gününün
eşit olasılıkta olduğunu varsayın

00:00:26.748 --> 00:00:29.977
ve artık yılları göz ardı edin.

NOTE Paragraph

00:00:29.977 --> 00:00:32.136
Bunu bir süre düşünün.

00:00:33.049 --> 00:00:35.908
Cevap şaşırtıcı derecede
düşük görünebilir.

00:00:35.908 --> 00:00:37.708
23 kişilik bir grupta

00:00:37.708 --> 00:00:44.669
iki kişinin aynı doğum gününe
sahip olma olasılığı %50.73'dür.

00:00:44.669 --> 00:00:47.239
Ancak bir yıldaki 365 gün ile,

00:00:47.239 --> 00:00:50.489
aynı doğum gününe sahip insan
olasılığına ulaşmak için

00:00:50.489 --> 00:00:53.700
bu kadar küçük bir gruba gerek olması
nasıl mümkün olabilir?

00:00:53.700 --> 00:00:57.916
Sezgimiz neden bu kadar yanlış?

00:00:57.916 --> 00:00:59.338
Cevabı bulmak için,

00:00:59.338 --> 00:01:02.749
bir matematikçinin 
bir doğum günü eşleşmesi olasılığını

00:01:02.749 --> 00:01:05.218
nasıl hesaplayabileceğine bakalım.

00:01:05.218 --> 00:01:09.110
Farklı kombinasyonların
olasılığıyla uğraşan

00:01:09.110 --> 00:01:14.419
bir matematik dalı olarak bilinen
kombinatoriği kullanabiliriz.

00:01:14.419 --> 00:01:16.950
İlk aşama problemi ters yüz etmektir.

00:01:16.950 --> 00:01:21.330
Bir eşleşmenin olma olasılığını
doğrudan hesaplamak çetrefillidir.

00:01:21.330 --> 00:01:25.229
Çünkü grupta doğum günü eşleşmesi
birçok farklı şekilde olabilir.

00:01:25.229 --> 00:01:31.389
Yerine, herkesin doğum gününün farklı 
olduğunu hesaplamak daha kolaydır.

00:01:31.389 --> 00:01:32.820
Peki bu nasıl yardımcı olur?

00:01:32.820 --> 00:01:35.741
Bir grupta doğum günü eşleşmesi
ya vardır ya da yoktur.

00:01:35.741 --> 00:01:38.461
Yani eşleşme olma ve olmama
olasılıklarının toplamı

00:01:38.461 --> 00:01:41.860
%100 olmak zorundadır.

00:01:41.860 --> 00:01:44.271
Bu da 100'den, eşleşmeme
olasılığını çıkararak

00:01:44.271 --> 00:01:50.381
eşleşme olasılığını 
bulabileceğimizi gösterir.

00:01:50.381 --> 00:01:53.806
Eşleşmeme olasılığını bulmak için
küçük başlayalım.

00:01:53.806 --> 00:01:58.281
Sadece iki kişinin doğum günlerinin
farklı olma olasılığını hesaplayalım.

00:01:58.281 --> 00:02:00.632
Yılın bir günü A kişisinin 
doğum günü olacak

00:02:00.632 --> 00:02:06.022
bu da B kişisine sadece
364 doğum günü olasılığı bırakacak.

00:02:06.022 --> 00:02:10.592
A ve B kişileri ya da başka iki insanın
farklı doğum günleri olması olasılığı

00:02:10.592 --> 00:02:14.412
365'te 364,

00:02:14.412 --> 00:02:20.514
0,997 ya da %99,7; yani epey yüksektir.

00:02:20.514 --> 00:02:22.562
İşe C kişisini de katalım.

00:02:22.562 --> 00:02:25.793
Bu küçük grupta diğerlerinden 
farklı bir doğum günü olması olasılığı

00:02:25.793 --> 00:02:29.532
365'te 363'tür.

00:02:29.532 --> 00:02:33.964
Çünkü A ve B kişilerinin hâlihazırda
iki doğum günü tarihi mevcuttur.

00:02:33.964 --> 00:02:38.582
D kişisinin doğum günü olasılığı
365'te 362'dir ve öyle devam eder,

00:02:38.582 --> 00:02:44.474
olasılığı 365'te 343 olan W'ya kadar.

00:02:44.474 --> 00:02:46.385
Tüm bu terimleri çarptığımızda,

00:02:46.385 --> 00:02:50.942
kimsenin doğum gününün 
aynı olmadığı olasılığını buluruz.

00:02:50.942 --> 00:02:54.064
Bu da 0,4927 eder,

00:02:54.064 --> 00:03:01.362
yani 23 kişilik bir grupta 
eşleşme olmama ihtimali %49.27'dir.

00:03:01.362 --> 00:03:05.955
Bunu 100'den çıkarttığımızda ise,

00:03:05.955 --> 00:03:08.701
en az bir eşleşme için
%50,73 olasılığının olması,

00:03:08.701 --> 00:03:11.955
ihtimallerden bile daha iyi.

00:03:11.955 --> 00:03:16.144
Nazaran küçük bir grupta bu kadar
yüksek eşleşme ihtimalinin olması

00:03:16.144 --> 00:03:20.325
şaşırtıcı olarak 
yüksek orandaki olası eşlerdir.

00:03:20.325 --> 00:03:26.017
Bir grup büyüdükçe, 
olası eşleşmelerin sayısı hızla artar.

00:03:26.017 --> 00:03:29.196
5 kişiden oluşan bir grubun
10 olası eşi vardır.

00:03:29.196 --> 00:03:32.905
5 kişiden her biri
diğer 4 kişiyle eşleşebilir.

00:03:32.905 --> 00:03:34.835
Bu kombinasyonların yarısı gereksizdir

00:03:34.835 --> 00:03:39.615
çünkü A kişisiyle B kişisini eşleştirmek,
B kişisiyle A kişisini eşleştirmektir,

00:03:39.615 --> 00:03:41.685
bu yüzden ikiye böleriz.

00:03:41.685 --> 00:03:43.045
Aynı nedenle

00:03:43.045 --> 00:03:45.836
10 kişilik bir grubun 45 eşi vardır

00:03:45.836 --> 00:03:49.835
ve 23 kişilik bir grubun 253 tane.

00:03:49.835 --> 00:03:52.905
Eşlerin sayısı karesel olarak artar,

00:03:52.905 --> 00:03:57.665
yani gruptaki kişi sayısının 
karesiyle orantılıdır.

00:03:57.665 --> 00:04:00.966
Ne yazık ki, içgüdüsel olarak
doğrusal olmayan işlevleri kavramada

00:04:00.966 --> 00:04:04.447
beynimiz bir numaradır.

00:04:04.447 --> 00:04:11.235
İlk bakışta 23 kişinin 253 olası eşinin
olması olanaksız gibi görünür.

00:04:11.235 --> 00:04:15.267
Bir kere beyinlerimiz kabullendiğinde,
doğum günü problemi daha anlamlı olur.

00:04:15.267 --> 00:04:20.135
253 eşten her biri, 
bir doğum günü eşi için birer olasılıktır.

00:04:20.135 --> 00:04:22.897
Aynı nedenle 
70 kişilik bir grupta,

00:04:22.897 --> 00:04:26.616
2,415 olası eş vardır

00:04:26.616 --> 00:04:33.337
ve iki kişinin aynı doğum gününe
sahip olması ihtimali %99.9'dan fazladır.

00:04:33.337 --> 00:04:36.707
Doğum günü problemi, aynı insanın
piyangoyu iki kez kazanması gibi,

00:04:36.707 --> 00:04:38.917
matematiğin 
imkansız gibi duran şeylerin,

00:04:38.917 --> 00:04:41.410
aslında o kadar da olanaksız olmadığını

00:04:41.410 --> 00:04:44.551
gösterebildiği örneklerden sadece biridir.

00:04:44.551 --> 00:04:48.927
Bazen tesadüfler, 
göründükleri kadar tesadüfi değildir.