Bir grup insan düşünün.
Gruptaki iki insanın aynı doğum gününe sahip olma ihtimalinin
%50'den fazla olması için
grubun ne kadar büyük olması gerekir?
Grupta hiç ikizin bulunmadığını,
her doğum gününün eşit olasılıkta olduğunu varsayın
ve artık yılları göz ardı edin.
Bunu bir süre düşünün.
Cevap şaşırtıcı derecede düşük görünebilir.
23 kişilik bir grupta
iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %50.73'dür.
Ancak bir yıldaki 365 gün ile,
aynı doğum gününe sahip insan olasılığına ulaşmak için
bu kadar küçük bir gruba gerek olması nasıl mümkün olabilir?
Sezgimiz neden bu kadar yanlış?
Cevabı bulmak için,
bir matematikçinin bir doğum günü eşleşmesi olasılığını
nasıl hesaplayabileceğine bakalım.
Farklı kombinasyonların olasılığıyla uğraşan
bir matematik dalı olarak bilinen kombinatoriği kullanabiliriz.
İlk aşama problemi ters yüz etmektir.
Bir eşleşmenin olma olasılığını doğrudan hesaplamak çetrefillidir.
Çünkü grupta doğum günü eşleşmesi birçok farklı şekilde olabilir.
Yerine, herkesin doğum gününün farklı olduğunu hesaplamak daha kolaydır.
Peki bu nasıl yardımcı olur?
Bir grupta doğum günü eşleşmesi ya vardır ya da yoktur.
Yani eşleşme olma ve olmama olasılıklarının toplamı
%100 olmak zorundadır.
Bu da 100'den, eşleşmeme olasılığını çıkararak
eşleşme olasılığını bulabileceğimizi gösterir.
Eşleşmeme olasılığını bulmak için küçük başlayalım.
Sadece iki kişinin doğum günlerinin farklı olma olasılığını hesaplayalım.
Yılın bir günü A kişisinin doğum günü olacak
bu da B kişisine sadece 364 doğum günü olasılığı bırakacak.
A ve B kişileri ya da başka iki insanın farklı doğum günleri olması olasılığı
365'te 364,
0,997 ya da %99,7; yani epey yüksektir.
İşe C kişisini de katalım.
Bu küçük grupta diğerlerinden farklı bir doğum günü olması olasılığı
365'te 363'tür.
Çünkü A ve B kişilerinin hâlihazırda iki doğum günü tarihi mevcuttur.
D kişisinin doğum günü olasılığı 365'te 362'dir ve öyle devam eder,
olasılığı 365'te 343 olan W'ya kadar.
Tüm bu terimleri çarptığımızda,
kimsenin doğum gününün aynı olmadığı olasılığını buluruz.
Bu da 0,4927 eder,
yani 23 kişilik bir grupta eşleşme olmama ihtimali %49.27'dir.
Bunu 100'den çıkarttığımızda ise,
en az bir eşleşme için %50,73 olasılığının olması,
ihtimallerden bile daha iyi.
Nazaran küçük bir grupta bu kadar yüksek eşleşme ihtimalinin olması
şaşırtıcı olarak yüksek orandaki olası eşlerdir.
Bir grup büyüdükçe, olası eşleşmelerin sayısı hızla artar.
5 kişiden oluşan bir grubun 10 olası eşi vardır.
5 kişiden her biri diğer 4 kişiyle eşleşebilir.
Bu kombinasyonların yarısı gereksizdir
çünkü A kişisiyle B kişisini eşleştirmek, B kişisiyle A kişisini eşleştirmektir,
bu yüzden ikiye böleriz.
Aynı nedenle
10 kişilik bir grubun 45 eşi vardır
ve 23 kişilik bir grubun 253 tane.
Eşlerin sayısı karesel olarak artar,
yani gruptaki kişi sayısının karesiyle orantılıdır.
Ne yazık ki, içgüdüsel olarak doğrusal olmayan işlevleri kavramada
beynimiz bir numaradır.
İlk bakışta 23 kişinin 253 olası eşinin olması olanaksız gibi görünür.
Bir kere beyinlerimiz kabullendiğinde, doğum günü problemi daha anlamlı olur.
253 eşten her biri, bir doğum günü eşi için birer olasılıktır.
Aynı nedenle 70 kişilik bir grupta,
2,415 olası eş vardır
ve iki kişinin aynı doğum gününe sahip olması ihtimali %99.9'dan fazladır.
Doğum günü problemi, aynı insanın piyangoyu iki kez kazanması gibi,
matematiğin imkansız gibi duran şeylerin,
aslında o kadar da olanaksız olmadığını
gösterebildiği örneklerden sadece biridir.
Bazen tesadüfler, göründükleri kadar tesadüfi değildir.