WEBVTT

00:00:10.048 --> 00:00:11.933
Представьте себе группу людей.

00:00:11.933 --> 00:00:14.454
Сколько человек, по-вашему,
должно быть в этой группе,

00:00:14.454 --> 00:00:18.778
чтобы вероятность наличия в ней людей
с совпадающими датами рождения

00:00:18.778 --> 00:00:21.218
была больше 50%?

00:00:21.218 --> 00:00:24.307
Предположим для простоты,
что среди них нет близнецов,

00:00:24.307 --> 00:00:26.748
что день рождения
может выпадать на любой день,

00:00:26.748 --> 00:00:29.977
и исключим високосные годы.

00:00:29.977 --> 00:00:33.049
Подумайте, прежде чем ответить.

00:00:33.049 --> 00:00:35.908
Ответ вас очень удивит.

00:00:35.908 --> 00:00:37.708
В группе из 23 человек

00:00:37.708 --> 00:00:44.669
вероятность, что день рождения совпадёт
хотя бы у двух людей, составляет 50,73%.

00:00:44.669 --> 00:00:47.239
Но как возможно совпадение дней рождения

00:00:47.239 --> 00:00:50.489
в такой маленькой группе,

00:00:50.489 --> 00:00:53.700
учитывая, что в году 365 дней?

00:00:53.700 --> 00:00:58.156
Почему интуиция так подводит нас ?

00:00:58.156 --> 00:00:59.498
Чтобы получить ответ,

00:00:59.498 --> 00:01:01.619
давайте используем один
математический приём,

00:01:01.619 --> 00:01:05.218
который поможет вычислить
совпадения дней рождения.

00:01:05.218 --> 00:01:09.110
Обратимся к такому разделу математики,
как комбинаторика,

00:01:09.110 --> 00:01:14.419
в которой рассматривается вероятность
различных комбинаций.

00:01:14.419 --> 00:01:16.950
Первый шаг — посмотреть
на проблему с другой стороны.

00:01:16.950 --> 00:01:21.330
Вычислить вероятность
совпадений напрямую непросто,

00:01:21.330 --> 00:01:25.229
потому что получить совпадения дат
рождения в группе можно многими способами.

00:01:25.229 --> 00:01:31.389
Легче подсчитать вероятность
несовпадающих дат рождения.

00:01:31.389 --> 00:01:32.820
Что это нам даст?

00:01:32.820 --> 00:01:35.741
Неважно, есть ли одинаковые
дни рождения в группе или нет,

00:01:35.741 --> 00:01:38.461
вероятность совпадений
и вероятность несовпадений

00:01:38.461 --> 00:01:41.860
вместе должны составить 100%.

00:01:41.860 --> 00:01:44.301
Это означает, что можно найти
вероятность совпадения

00:01:44.301 --> 00:01:50.381
путём вычитания вероятности
несовпадений из 100.

00:01:50.381 --> 00:01:53.806
Начнём с более простого, посчитаем
вероятность несовпадений.

00:01:53.806 --> 00:01:58.281
Определим возможность, что только
у одной пары человек разные дни рождения.

00:01:58.281 --> 00:02:00.632
Один день в году — это день
рождения Человека 1,

00:02:00.632 --> 00:02:06.022
а значит, день рождения Человека 2 должен
выпасть на один из оставшихся 364 дней.

00:02:06.022 --> 00:02:10.592
Вероятность несовпадения в днях рождения
для 1 и 2, как и для любой другой пары,

00:02:10.592 --> 00:02:14.412
составляет 364 из 365,

00:02:14.412 --> 00:02:20.514
это около 0,997 или 99,7%,
то есть весьма большая.

00:02:20.514 --> 00:02:22.562
Возьмём Человека 3.

00:02:22.562 --> 00:02:25.793
Вероятность, что его дата рождения
в этой группе людей уникальна,

00:02:25.793 --> 00:02:29.532
составит 363 из 365,

00:02:29.532 --> 00:02:33.964
потому что две даты
уже подсчитаны для 1 и 2.

00:02:33.964 --> 00:02:38.582
Для Человека 4 вероятность составит
362 из 365 и так далее,

00:02:38.582 --> 00:02:44.474
для Человека 23 — 343 из 365.

00:02:44.474 --> 00:02:46.385
Сложите все эти числа,

00:02:46.385 --> 00:02:50.942
и вы получите процент вероятности
несовпадений дат рождения.

00:02:50.942 --> 00:02:54.064
Она составит 0,4927,
то есть вероятность того,

00:02:54.064 --> 00:03:01.362
что ни у кого в группе из 23 человек
даты не совпадают, — 49,27%.

00:03:01.362 --> 00:03:05.955
Если вычесть эту цифру из 100,
получим вероятность в 50,73%,

00:03:05.955 --> 00:03:08.701
что хотя бы один день рождения совпадёт,

00:03:08.701 --> 00:03:11.955
то есть даже больше, чем один к одному.

00:03:11.955 --> 00:03:16.144
Ключ к разгадке такого большого
совпадения в маленькой группе в том,

00:03:16.144 --> 00:03:20.325
что возможное количество пар,
на удивление, достаточно велико,

00:03:20.325 --> 00:03:26.017
и по мере увеличения группы число
возможных комбинаций растёт быстрее.

00:03:26.017 --> 00:03:29.196
У группы из пяти человек
есть десять возможных пар.

00:03:29.196 --> 00:03:32.905
Каждый из этих пяти может составить
пару любому из оставшихся четырёх.

00:03:32.905 --> 00:03:34.835
Половина из этих комбинаций избыточны,

00:03:34.835 --> 00:03:39.615
потому что пара Человек 1 и Человек 2 —
то же самое, что Человек 2 и Человек 1,

00:03:39.615 --> 00:03:41.685
поэтому делим их количество на два.

00:03:41.685 --> 00:03:43.045
По этой же самой причине

00:03:43.045 --> 00:03:45.836
группа из десяти человек имеет 45 пар,

00:03:45.836 --> 00:03:49.835
а из двадцати трёх — 253 пары.

00:03:49.835 --> 00:03:52.905
Количество пар находится
в квадратичной зависимости,

00:03:52.905 --> 00:03:57.665
это означает, что оно пропорционально
квадрату количества человек в группе.

00:03:57.665 --> 00:04:00.966
К сожалению, наш мозг
не предназначен для того,

00:04:00.966 --> 00:04:04.447
чтобы понимать нелинейные
функции интуитивно,

00:04:04.447 --> 00:04:11.235
поэтому изначально кажется невозможным,
что 23 человека могут составить 253 пары.

00:04:11.235 --> 00:04:15.267
Но когда наш мозг это осознáет,
загадка с днями рождения прояснится.

00:04:15.267 --> 00:04:20.135
Каждая из 253 пар имеет шанс
на совпадение даты рождения.

00:04:20.135 --> 00:04:22.897
По этой же причине группа из 70 человек

00:04:22.897 --> 00:04:26.616
имеет 2 415 возможных пар,

00:04:26.616 --> 00:04:33.337
и вероятность, что два человека имеют одну
дату рождения, составляет более 99,9%.

00:04:33.337 --> 00:04:35.857
Загадка с датами рождения —
это лишь один пример того,

00:04:35.857 --> 00:04:38.717
как математика может объяснить вещи,
кажущиеся невозможными,

00:04:38.717 --> 00:04:41.620
как то, что один и тот же человек
выигрывает в лотерею дважды,

00:04:41.620 --> 00:04:44.551
на самом деле вполне вероятно.

00:04:44.551 --> 00:04:48.868
Иногда совпадения
не так уж случайны, как кажутся.