Представьте себе группу людей. Сколько человек, по-вашему, должно быть в этой группе, чтобы вероятность наличия в ней людей с совпадающими датами рождения была больше 50%? Предположим для простоты, что среди них нет близнецов, что день рождения может выпадать на любой день, и исключим високосные годы. Подумайте, прежде чем ответить. Ответ вас очень удивит. В группе из 23 человек вероятность, что день рождения совпадёт хотя бы у двух людей, составляет 50,73%. Но как возможно совпадение дней рождения в такой маленькой группе, учитывая, что в году 365 дней? Почему интуиция так подводит нас ? Чтобы получить ответ, давайте используем один математический приём, который поможет вычислить совпадения дней рождения. Обратимся к такому разделу математики, как комбинаторика, в которой рассматривается вероятность различных комбинаций. Первый шаг — посмотреть на проблему с другой стороны. Вычислить вероятность совпадений напрямую непросто, потому что получить совпадения дат рождения в группе можно многими способами. Легче подсчитать вероятность несовпадающих дат рождения. Что это нам даст? Неважно, есть ли одинаковые дни рождения в группе или нет, вероятность совпадений и вероятность несовпадений вместе должны составить 100%. Это означает, что можно найти вероятность совпадения путём вычитания вероятности несовпадений из 100. Начнём с более простого, посчитаем вероятность несовпадений. Определим возможность, что только у одной пары человек разные дни рождения. Один день в году — это день рождения Человека 1, а значит, день рождения Человека 2 должен выпасть на один из оставшихся 364 дней. Вероятность несовпадения в днях рождения для 1 и 2, как и для любой другой пары, составляет 364 из 365, это около 0,997 или 99,7%, то есть весьма большая. Возьмём Человека 3. Вероятность, что его дата рождения в этой группе людей уникальна, составит 363 из 365, потому что две даты уже подсчитаны для 1 и 2. Для Человека 4 вероятность составит 362 из 365 и так далее, для Человека 23 — 343 из 365. Сложите все эти числа, и вы получите процент вероятности несовпадений дат рождения. Она составит 0,4927, то есть вероятность того, что ни у кого в группе из 23 человек даты не совпадают, — 49,27%. Если вычесть эту цифру из 100, получим вероятность в 50,73%, что хотя бы один день рождения совпадёт, то есть даже больше, чем один к одному. Ключ к разгадке такого большого совпадения в маленькой группе в том, что возможное количество пар, на удивление, достаточно велико, и по мере увеличения группы число возможных комбинаций растёт быстрее. У группы из пяти человек есть десять возможных пар. Каждый из этих пяти может составить пару любому из оставшихся четырёх. Половина из этих комбинаций избыточны, потому что пара Человек 1 и Человек 2 — то же самое, что Человек 2 и Человек 1, поэтому делим их количество на два. По этой же самой причине группа из десяти человек имеет 45 пар, а из двадцати трёх — 253 пары. Количество пар находится в квадратичной зависимости, это означает, что оно пропорционально квадрату количества человек в группе. К сожалению, наш мозг не предназначен для того, чтобы понимать нелинейные функции интуитивно, поэтому изначально кажется невозможным, что 23 человека могут составить 253 пары. Но когда наш мозг это осознáет, загадка с днями рождения прояснится. Каждая из 253 пар имеет шанс на совпадение даты рождения. По этой же причине группа из 70 человек имеет 2 415 возможных пар, и вероятность, что два человека имеют одну дату рождения, составляет более 99,9%. Загадка с датами рождения — это лишь один пример того, как математика может объяснить вещи, кажущиеся невозможными, как то, что один и тот же человек выигрывает в лотерею дважды, на самом деле вполне вероятно. Иногда совпадения не так уж случайны, как кажутся.