Представьте себе группу людей.
Сколько человек, по-вашему, должно быть в этой группе,
чтобы вероятность наличия в ней людей с совпадающими датами рождения
была больше 50%?
Предположим для простоты, что среди них нет близнецов,
что день рождения может выпадать на любой день,
и исключим високосные годы.
Подумайте, прежде чем ответить.
Ответ вас очень удивит.
В группе из 23 человек
вероятность, что день рождения совпадёт хотя бы у двух людей, составляет 50,73%.
Но как возможно совпадение дней рождения
в такой маленькой группе,
учитывая, что в году 365 дней?
Почему интуиция так подводит нас ?
Чтобы получить ответ,
давайте используем один математический приём,
который поможет вычислить совпадения дней рождения.
Обратимся к такому разделу математики, как комбинаторика,
в которой рассматривается вероятность различных комбинаций.
Первый шаг — посмотреть на проблему с другой стороны.
Вычислить вероятность совпадений напрямую непросто,
потому что получить совпадения дат рождения в группе можно многими способами.
Легче подсчитать вероятность несовпадающих дат рождения.
Что это нам даст?
Неважно, есть ли одинаковые дни рождения в группе или нет,
вероятность совпадений и вероятность несовпадений
вместе должны составить 100%.
Это означает, что можно найти вероятность совпадения
путём вычитания вероятности несовпадений из 100.
Начнём с более простого, посчитаем вероятность несовпадений.
Определим возможность, что только у одной пары человек разные дни рождения.
Один день в году — это день рождения Человека 1,
а значит, день рождения Человека 2 должен выпасть на один из оставшихся 364 дней.
Вероятность несовпадения в днях рождения для 1 и 2, как и для любой другой пары,
составляет 364 из 365,
это около 0,997 или 99,7%, то есть весьма большая.
Возьмём Человека 3.
Вероятность, что его дата рождения в этой группе людей уникальна,
составит 363 из 365,
потому что две даты уже подсчитаны для 1 и 2.
Для Человека 4 вероятность составит 362 из 365 и так далее,
для Человека 23 — 343 из 365.
Сложите все эти числа,
и вы получите процент вероятности несовпадений дат рождения.
Она составит 0,4927, то есть вероятность того,
что ни у кого в группе из 23 человек даты не совпадают, — 49,27%.
Если вычесть эту цифру из 100, получим вероятность в 50,73%,
что хотя бы один день рождения совпадёт,
то есть даже больше, чем один к одному.
Ключ к разгадке такого большого совпадения в маленькой группе в том,
что возможное количество пар, на удивление, достаточно велико,
и по мере увеличения группы число возможных комбинаций растёт быстрее.
У группы из пяти человек есть десять возможных пар.
Каждый из этих пяти может составить пару любому из оставшихся четырёх.
Половина из этих комбинаций избыточны,
потому что пара Человек 1 и Человек 2 — то же самое, что Человек 2 и Человек 1,
поэтому делим их количество на два.
По этой же самой причине
группа из десяти человек имеет 45 пар,
а из двадцати трёх — 253 пары.
Количество пар находится в квадратичной зависимости,
это означает, что оно пропорционально квадрату количества человек в группе.
К сожалению, наш мозг не предназначен для того,
чтобы понимать нелинейные функции интуитивно,
поэтому изначально кажется невозможным, что 23 человека могут составить 253 пары.
Но когда наш мозг это осознáет, загадка с днями рождения прояснится.
Каждая из 253 пар имеет шанс на совпадение даты рождения.
По этой же причине группа из 70 человек
имеет 2 415 возможных пар,
и вероятность, что два человека имеют одну дату рождения, составляет более 99,9%.
Загадка с датами рождения — это лишь один пример того,
как математика может объяснить вещи, кажущиеся невозможными,
как то, что один и тот же человек выигрывает в лотерею дважды,
на самом деле вполне вероятно.
Иногда совпадения не так уж случайны, как кажутся.