1
00:00:10,048 --> 00:00:11,933
Представьте себе группу людей.

2
00:00:11,933 --> 00:00:14,454
Сколько человек, по-вашему,
должно быть в этой группе,

3
00:00:14,454 --> 00:00:18,778
чтобы вероятность наличия в ней людей
с совпадающими датами рождения

4
00:00:18,778 --> 00:00:21,218
была больше 50%?

5
00:00:21,218 --> 00:00:24,307
Предположим для простоты,
что среди них нет близнецов,

6
00:00:24,307 --> 00:00:26,748
что день рождения
может выпадать на любой день,

7
00:00:26,748 --> 00:00:29,977
и исключим високосные годы.

8
00:00:29,977 --> 00:00:33,049
Подумайте, прежде чем ответить.

9
00:00:33,049 --> 00:00:35,908
Ответ вас очень удивит.

10
00:00:35,908 --> 00:00:37,708
В группе из 23 человек

11
00:00:37,708 --> 00:00:44,669
вероятность, что день рождения совпадёт
хотя бы у двух людей, составляет 50,73%.

12
00:00:44,669 --> 00:00:47,239
Но как возможно совпадение дней рождения

13
00:00:47,239 --> 00:00:50,489
в такой маленькой группе,

14
00:00:50,489 --> 00:00:53,700
учитывая, что в году 365 дней?

15
00:00:53,700 --> 00:00:58,156
Почему интуиция так подводит нас ?

16
00:00:58,156 --> 00:00:59,498
Чтобы получить ответ,

17
00:00:59,498 --> 00:01:01,619
давайте используем один
математический приём,

18
00:01:01,619 --> 00:01:05,218
который поможет вычислить
совпадения дней рождения.

19
00:01:05,218 --> 00:01:09,110
Обратимся к такому разделу математики,
как комбинаторика,

20
00:01:09,110 --> 00:01:14,419
в которой рассматривается вероятность
различных комбинаций.

21
00:01:14,419 --> 00:01:16,950
Первый шаг — посмотреть
на проблему с другой стороны.

22
00:01:16,950 --> 00:01:21,330
Вычислить вероятность
совпадений напрямую непросто,

23
00:01:21,330 --> 00:01:25,229
потому что получить совпадения дат
рождения в группе можно многими способами.

24
00:01:25,229 --> 00:01:31,389
Легче подсчитать вероятность
несовпадающих дат рождения.

25
00:01:31,389 --> 00:01:32,820
Что это нам даст?

26
00:01:32,820 --> 00:01:35,741
Неважно, есть ли одинаковые
дни рождения в группе или нет,

27
00:01:35,741 --> 00:01:38,461
вероятность совпадений
и вероятность несовпадений

28
00:01:38,461 --> 00:01:41,860
вместе должны составить 100%.

29
00:01:41,860 --> 00:01:44,301
Это означает, что можно найти
вероятность совпадения

30
00:01:44,301 --> 00:01:50,381
путём вычитания вероятности
несовпадений из 100.

31
00:01:50,381 --> 00:01:53,806
Начнём с более простого, посчитаем
вероятность несовпадений.

32
00:01:53,806 --> 00:01:58,281
Определим возможность, что только
у одной пары человек разные дни рождения.

33
00:01:58,281 --> 00:02:00,632
Один день в году — это день
рождения Человека 1,

34
00:02:00,632 --> 00:02:06,022
а значит, день рождения Человека 2 должен
выпасть на один из оставшихся 364 дней.

35
00:02:06,022 --> 00:02:10,592
Вероятность несовпадения в днях рождения
для 1 и 2, как и для любой другой пары,

36
00:02:10,592 --> 00:02:14,412
составляет 364 из 365,

37
00:02:14,412 --> 00:02:20,514
это около 0,997 или 99,7%,
то есть весьма большая.

38
00:02:20,514 --> 00:02:22,562
Возьмём Человека 3.

39
00:02:22,562 --> 00:02:25,793
Вероятность, что его дата рождения
в этой группе людей уникальна,

40
00:02:25,793 --> 00:02:29,532
составит 363 из 365,

41
00:02:29,532 --> 00:02:33,964
потому что две даты
уже подсчитаны для 1 и 2.

42
00:02:33,964 --> 00:02:38,582
Для Человека 4 вероятность составит
362 из 365 и так далее,

43
00:02:38,582 --> 00:02:44,474
для Человека 23 — 343 из 365.

44
00:02:44,474 --> 00:02:46,385
Сложите все эти числа,

45
00:02:46,385 --> 00:02:50,942
и вы получите процент вероятности
несовпадений дат рождения.

46
00:02:50,942 --> 00:02:54,064
Она составит 0,4927,
то есть вероятность того,

47
00:02:54,064 --> 00:03:01,362
что ни у кого в группе из 23 человек
даты не совпадают, — 49,27%.

48
00:03:01,362 --> 00:03:05,955
Если вычесть эту цифру из 100,
получим вероятность в 50,73%,

49
00:03:05,955 --> 00:03:08,701
что хотя бы один день рождения совпадёт,

50
00:03:08,701 --> 00:03:11,955
то есть даже больше, чем один к одному.

51
00:03:11,955 --> 00:03:16,144
Ключ к разгадке такого большого
совпадения в маленькой группе в том,

52
00:03:16,144 --> 00:03:20,325
что возможное количество пар,
на удивление, достаточно велико,

53
00:03:20,325 --> 00:03:26,017
и по мере увеличения группы число
возможных комбинаций растёт быстрее.

54
00:03:26,017 --> 00:03:29,196
У группы из пяти человек
есть десять возможных пар.

55
00:03:29,196 --> 00:03:32,905
Каждый из этих пяти может составить
пару любому из оставшихся четырёх.

56
00:03:32,905 --> 00:03:34,835
Половина из этих комбинаций избыточны,

57
00:03:34,835 --> 00:03:39,615
потому что пара Человек 1 и Человек 2 —
то же самое, что Человек 2 и Человек 1,

58
00:03:39,615 --> 00:03:41,685
поэтому делим их количество на два.

59
00:03:41,685 --> 00:03:43,045
По этой же самой причине

60
00:03:43,045 --> 00:03:45,836
группа из десяти человек имеет 45 пар,

61
00:03:45,836 --> 00:03:49,835
а из двадцати трёх — 253 пары.

62
00:03:49,835 --> 00:03:52,905
Количество пар находится
в квадратичной зависимости,

63
00:03:52,905 --> 00:03:57,665
это означает, что оно пропорционально
квадрату количества человек в группе.

64
00:03:57,665 --> 00:04:00,966
К сожалению, наш мозг
не предназначен для того,

65
00:04:00,966 --> 00:04:04,447
чтобы понимать нелинейные
функции интуитивно,

66
00:04:04,447 --> 00:04:11,235
поэтому изначально кажется невозможным,
что 23 человека могут составить 253 пары.

67
00:04:11,235 --> 00:04:15,267
Но когда наш мозг это осознáет,
загадка с днями рождения прояснится.

68
00:04:15,267 --> 00:04:20,135
Каждая из 253 пар имеет шанс
на совпадение даты рождения.

69
00:04:20,135 --> 00:04:22,897
По этой же причине группа из 70 человек

70
00:04:22,897 --> 00:04:26,616
имеет 2 415 возможных пар,

71
00:04:26,616 --> 00:04:33,337
и вероятность, что два человека имеют одну
дату рождения, составляет более 99,9%.

72
00:04:33,337 --> 00:04:35,857
Загадка с датами рождения —
это лишь один пример того,

73
00:04:35,857 --> 00:04:38,717
как математика может объяснить вещи,
кажущиеся невозможными,

74
00:04:38,717 --> 00:04:41,620
как то, что один и тот же человек
выигрывает в лотерею дважды,

75
00:04:41,620 --> 00:04:44,551
на самом деле вполне вероятно.

76
00:04:44,551 --> 00:04:48,868
Иногда совпадения
не так уж случайны, как кажутся.