Представьте себе группу людей.
Сколько человек, по-вашему,
должно быть в этой группе,
чтобы вероятность наличия в ней людей
с совпадающими датами рождения
была больше 50%?
Предположим для простоты,
что среди них нет близнецов,
что день рождения
может выпадать на любой день,
и исключим високосные годы.
Подумайте, прежде чем ответить.
Ответ вас очень удивит.
В группе из 23 человек
вероятность, что день рождения совпадёт
хотя бы у двух людей, составляет 50,73%.
Но как возможно совпадение дней рождения
в такой маленькой группе,
учитывая, что в году 365 дней?
Почему интуиция так подводит нас ?
Чтобы получить ответ,
давайте используем один
математический приём,
который поможет вычислить
совпадения дней рождения.
Обратимся к такому разделу математики,
как комбинаторика,
в которой рассматривается вероятность
различных комбинаций.
Первый шаг — посмотреть
на проблему с другой стороны.
Вычислить вероятность
совпадений напрямую непросто,
потому что получить совпадения дат
рождения в группе можно многими способами.
Легче подсчитать вероятность
несовпадающих дат рождения.
Что это нам даст?
Неважно, есть ли одинаковые
дни рождения в группе или нет,
вероятность совпадений
и вероятность несовпадений
вместе должны составить 100%.
Это означает, что можно найти
вероятность совпадения
путём вычитания вероятности
несовпадений из 100.
Начнём с более простого, посчитаем
вероятность несовпадений.
Определим возможность, что только
у одной пары человек разные дни рождения.
Один день в году — это день
рождения Человека 1,
а значит, день рождения Человека 2 должен
выпасть на один из оставшихся 364 дней.
Вероятность несовпадения в днях рождения
для 1 и 2, как и для любой другой пары,
составляет 364 из 365,
это около 0,997 или 99,7%,
то есть весьма большая.
Возьмём Человека 3.
Вероятность, что его дата рождения
в этой группе людей уникальна,
составит 363 из 365,
потому что две даты
уже подсчитаны для 1 и 2.
Для Человека 4 вероятность составит
362 из 365 и так далее,
для Человека 23 — 343 из 365.
Сложите все эти числа,
и вы получите процент вероятности
несовпадений дат рождения.
Она составит 0,4927,
то есть вероятность того,
что ни у кого в группе из 23 человек
даты не совпадают, — 49,27%.
Если вычесть эту цифру из 100,
получим вероятность в 50,73%,
что хотя бы один день рождения совпадёт,
то есть даже больше, чем один к одному.
Ключ к разгадке такого большого
совпадения в маленькой группе в том,
что возможное количество пар,
на удивление, достаточно велико,
и по мере увеличения группы число
возможных комбинаций растёт быстрее.
У группы из пяти человек
есть десять возможных пар.
Каждый из этих пяти может составить
пару любому из оставшихся четырёх.
Половина из этих комбинаций избыточны,
потому что пара Человек 1 и Человек 2 —
то же самое, что Человек 2 и Человек 1,
поэтому делим их количество на два.
По этой же самой причине
группа из десяти человек имеет 45 пар,
а из двадцати трёх — 253 пары.
Количество пар находится
в квадратичной зависимости,
это означает, что оно пропорционально
квадрату количества человек в группе.
К сожалению, наш мозг
не предназначен для того,
чтобы понимать нелинейные
функции интуитивно,
поэтому изначально кажется невозможным,
что 23 человека могут составить 253 пары.
Но когда наш мозг это осознáет,
загадка с днями рождения прояснится.
Каждая из 253 пар имеет шанс
на совпадение даты рождения.
По этой же причине группа из 70 человек
имеет 2 415 возможных пар,
и вероятность, что два человека имеют одну
дату рождения, составляет более 99,9%.
Загадка с датами рождения —
это лишь один пример того,
как математика может объяснить вещи,
кажущиеся невозможными,
как то, что один и тот же человек
выигрывает в лотерею дважды,
на самом деле вполне вероятно.
Иногда совпадения
не так уж случайны, как кажутся.