WEBVTT

00:00:10.048 --> 00:00:11.933
人の集まりを想像してみてください

00:00:11.933 --> 00:00:14.304
何人いれば

00:00:14.304 --> 00:00:18.778
誕生日が同じ人がいる確率が

00:00:18.778 --> 00:00:21.218
50%を超えると思いますか？

00:00:21.218 --> 00:00:24.187
ここでは 双子はおらず

00:00:24.187 --> 00:00:26.748
どの誕生日の確率も同じで

00:00:26.748 --> 00:00:29.977
閏年は無視することにします

00:00:29.977 --> 00:00:33.049
しばらく考えてみてください

00:00:33.049 --> 00:00:35.908
答えを聞くと驚くほどに
小さな数字に思えるかもしれませんが

00:00:35.908 --> 00:00:37.708
23人のグループなら

00:00:37.708 --> 00:00:44.669
同じ誕生日の人が２人いる確率は
50.73%です

00:00:44.669 --> 00:00:47.239
１年には365日もあるのに

00:00:47.239 --> 00:00:50.489
誕生日が重なる確率が50%となるのが

00:00:50.489 --> 00:00:53.700
なぜ こんなに少ない人数に
なり得るのでしょうか？

00:00:53.700 --> 00:00:58.156
なぜ こんなにも
直感が外れたのでしょうか？

00:00:58.156 --> 00:00:59.498
この答えを理解するために

00:00:59.498 --> 00:01:01.389
誕生日が一致する確率を

00:01:01.389 --> 00:01:05.218
数学者が計算する方法を見てみましょう

00:01:05.218 --> 00:01:09.110
様々な組合せの起こり易さを
計算する―

00:01:09.110 --> 00:01:14.419
数学の一分野である
組合せ理論を用います

00:01:14.419 --> 00:01:16.950
まず最初に問題を
逆の見方で考えてみます

00:01:16.950 --> 00:01:21.330
誕生日が一致する確率を
直接計算するのはとても困難です

00:01:21.330 --> 00:01:25.229
なぜなら集団の中で誕生日が一致する
パターンは非常に多くあるからです

00:01:25.229 --> 00:01:31.389
代わりに全員の誕生日が異なる確率を
求める方が簡単です

00:01:31.389 --> 00:01:32.820
なぜ その方が良いのでしょうか？

00:01:32.820 --> 00:01:35.741
グループの中で
誕生日が一致する人がいる確率と

00:01:35.741 --> 00:01:38.461
誰も一致しない確率を足すと

00:01:38.461 --> 00:01:41.860
100%になります

00:01:41.860 --> 00:01:44.271
つまり 100から
一致しない確率を引けば

00:01:44.271 --> 00:01:50.381
一致する確率が分かるわけです

00:01:50.381 --> 00:01:53.806
まず少ない数で
一致しない確率を計算しましょう

00:01:53.806 --> 00:01:58.281
２人の誕生日が異なる確率を
計算します

00:01:58.281 --> 00:02:00.632
１年のある１日が
Aさんの誕生日だとすると

00:02:00.632 --> 00:02:06.022
Bさんの誕生日は
364通りしかありません

00:02:06.022 --> 00:02:10.592
２人の誕生日が異なる確率は

00:02:10.592 --> 00:02:14.412
365分の364で

00:02:14.412 --> 00:02:20.514
約0.997 つまり99.7%と
とても高いですね

00:02:20.514 --> 00:02:22.562
Cさんを加えてみましょう

00:02:22.562 --> 00:02:25.793
この小さなグループで
彼女の誕生日が異なる可能性は

00:02:25.793 --> 00:02:29.532
365分の363です

00:02:29.532 --> 00:02:33.964
それは 既にAとBの誕生日が
決まっているからです

00:02:33.964 --> 00:02:38.582
Dの確率は365分の362になります

00:02:38.582 --> 00:02:44.474
続けていくと23人目のWの確率は
365分の343になります

00:02:44.474 --> 00:02:46.385
これらの数字をすべて掛けていけば

00:02:46.385 --> 00:02:50.942
全員の誕生日が異なる確率が
計算できます

00:02:50.942 --> 00:02:54.064
0.4927となるので

00:02:54.064 --> 00:03:01.362
23人の誕生日が全て異なる可能性は
49.27%です

00:03:01.362 --> 00:03:05.955
それを100から引くと

00:03:05.955 --> 00:03:08.701
少なくとも１組が
同じ誕生日である確率は

00:03:08.701 --> 00:03:11.955
50.73%になり
五分五分を超えています

00:03:11.955 --> 00:03:16.144
比較的少ない人数なのに
確率が高くなるのは

00:03:16.144 --> 00:03:20.325
実は考え得るペアの数が
非常に多いからです

00:03:20.325 --> 00:03:26.017
グル－プが大きくなるにつれて
可能な組合せは急速に増加し

00:03:26.017 --> 00:03:29.196
５人のグループでは
10ペアが可能です

00:03:29.196 --> 00:03:32.905
５人にはそれぞれ
他の４人とのペアが考えられます

00:03:32.905 --> 00:03:34.835
AとB､BとAのペアは
同じものであり

00:03:34.835 --> 00:03:39.615
ペアの半分が
重複しているため

00:03:39.615 --> 00:03:41.685
２で割ります

00:03:41.685 --> 00:03:43.045
同じ理由により

00:03:43.045 --> 00:03:45.836
10人のグループでは 45ペア

00:03:45.836 --> 00:03:49.835
23人の場合は 253ペアになります

00:03:49.835 --> 00:03:52.905
このペア数は人数の２乗に比例する

00:03:52.905 --> 00:03:57.665
二次関数的に増加していきます

00:03:57.665 --> 00:04:00.966
あいにく人の脳は非線形関数を

00:04:00.966 --> 00:04:04.447
直感的に把握するのが
とても苦手なので

00:04:04.447 --> 00:04:11.235
23人いれば253通りものペアが可能だとは
思いつかないのです

00:04:11.235 --> 00:04:15.267
これを受け入れれば誕生日の問題は
理にかなっていると思えるでしょう

00:04:15.267 --> 00:04:20.135
253組の どのペアにおいても
２人の誕生日が同じになる可能性があります

00:04:20.135 --> 00:04:22.897
同様に70人のグループだと

00:04:22.897 --> 00:04:26.616
2,415ペアが考えられ

00:04:26.616 --> 00:04:33.337
同じ誕生日の人が２人いる確率は
99.9%以上になります

00:04:33.337 --> 00:04:36.707
この誕生日の問題は
同じ人が２度宝くじに当たるといった

00:04:36.707 --> 00:04:38.917
一見不可能に思えることが

00:04:38.917 --> 00:04:41.410
実は全く起こり得ないことではないことを

00:04:41.410 --> 00:04:44.551
数学が示す一例にすぎません

00:04:44.551 --> 00:04:48.868
一見 偶然に見えることが
実は偶然ではないこともあるのです