1
00:00:10,048 --> 00:00:11,933
人の集まりを想像してみてください

2
00:00:11,933 --> 00:00:14,304
何人いれば

3
00:00:14,304 --> 00:00:18,778
誕生日が同じ人がいる確率が

4
00:00:18,778 --> 00:00:21,218
50%を超えると思いますか？

5
00:00:21,218 --> 00:00:24,187
ここでは 双子はおらず

6
00:00:24,187 --> 00:00:26,748
どの誕生日の確率も同じで

7
00:00:26,748 --> 00:00:29,977
閏年は無視することにします

8
00:00:29,977 --> 00:00:33,049
しばらく考えてみてください

9
00:00:33,049 --> 00:00:35,908
答えを聞くと驚くほどに
小さな数字に思えるかもしれませんが

10
00:00:35,908 --> 00:00:37,708
23人のグループなら

11
00:00:37,708 --> 00:00:44,669
同じ誕生日の人が２人いる確率は
50.73%です

12
00:00:44,669 --> 00:00:47,239
１年には365日もあるのに

13
00:00:47,239 --> 00:00:50,489
誕生日が重なる確率が50%となるのが

14
00:00:50,489 --> 00:00:53,700
なぜ こんなに少ない人数に
なり得るのでしょうか？

15
00:00:53,700 --> 00:00:58,156
なぜ こんなにも
直感が外れたのでしょうか？

16
00:00:58,156 --> 00:00:59,498
この答えを理解するために

17
00:00:59,498 --> 00:01:01,389
誕生日が一致する確率を

18
00:01:01,389 --> 00:01:05,218
数学者が計算する方法を見てみましょう

19
00:01:05,218 --> 00:01:09,110
様々な組合せの起こり易さを
計算する―

20
00:01:09,110 --> 00:01:14,419
数学の一分野である
組合せ理論を用います

21
00:01:14,419 --> 00:01:16,950
まず最初に問題を
逆の見方で考えてみます

22
00:01:16,950 --> 00:01:21,330
誕生日が一致する確率を
直接計算するのはとても困難です

23
00:01:21,330 --> 00:01:25,229
なぜなら集団の中で誕生日が一致する
パターンは非常に多くあるからです

24
00:01:25,229 --> 00:01:31,389
代わりに全員の誕生日が異なる確率を
求める方が簡単です

25
00:01:31,389 --> 00:01:32,820
なぜ その方が良いのでしょうか？

26
00:01:32,820 --> 00:01:35,741
グループの中で
誕生日が一致する人がいる確率と

27
00:01:35,741 --> 00:01:38,461
誰も一致しない確率を足すと

28
00:01:38,461 --> 00:01:41,860
100%になります

29
00:01:41,860 --> 00:01:44,271
つまり 100から
一致しない確率を引けば

30
00:01:44,271 --> 00:01:50,381
一致する確率が分かるわけです

31
00:01:50,381 --> 00:01:53,806
まず少ない数で
一致しない確率を計算しましょう

32
00:01:53,806 --> 00:01:58,281
２人の誕生日が異なる確率を
計算します

33
00:01:58,281 --> 00:02:00,632
１年のある１日が
Aさんの誕生日だとすると

34
00:02:00,632 --> 00:02:06,022
Bさんの誕生日は
364通りしかありません

35
00:02:06,022 --> 00:02:10,592
２人の誕生日が異なる確率は

36
00:02:10,592 --> 00:02:14,412
365分の364で

37
00:02:14,412 --> 00:02:20,514
約0.997 つまり99.7%と
とても高いですね

38
00:02:20,514 --> 00:02:22,562
Cさんを加えてみましょう

39
00:02:22,562 --> 00:02:25,793
この小さなグループで
彼女の誕生日が異なる可能性は

40
00:02:25,793 --> 00:02:29,532
365分の363です

41
00:02:29,532 --> 00:02:33,964
それは 既にAとBの誕生日が
決まっているからです

42
00:02:33,964 --> 00:02:38,582
Dの確率は365分の362になります

43
00:02:38,582 --> 00:02:44,474
続けていくと23人目のWの確率は
365分の343になります

44
00:02:44,474 --> 00:02:46,385
これらの数字をすべて掛けていけば

45
00:02:46,385 --> 00:02:50,942
全員の誕生日が異なる確率が
計算できます

46
00:02:50,942 --> 00:02:54,064
0.4927となるので

47
00:02:54,064 --> 00:03:01,362
23人の誕生日が全て異なる可能性は
49.27%です

48
00:03:01,362 --> 00:03:05,955
それを100から引くと

49
00:03:05,955 --> 00:03:08,701
少なくとも１組が
同じ誕生日である確率は

50
00:03:08,701 --> 00:03:11,955
50.73%になり
五分五分を超えています

51
00:03:11,955 --> 00:03:16,144
比較的少ない人数なのに
確率が高くなるのは

52
00:03:16,144 --> 00:03:20,325
実は考え得るペアの数が
非常に多いからです

53
00:03:20,325 --> 00:03:26,017
グル－プが大きくなるにつれて
可能な組合せは急速に増加し

54
00:03:26,017 --> 00:03:29,196
５人のグループでは
10ペアが可能です

55
00:03:29,196 --> 00:03:32,905
５人にはそれぞれ
他の４人とのペアが考えられます

56
00:03:32,905 --> 00:03:34,835
AとB､BとAのペアは
同じものであり

57
00:03:34,835 --> 00:03:39,615
ペアの半分が
重複しているため

58
00:03:39,615 --> 00:03:41,685
２で割ります

59
00:03:41,685 --> 00:03:43,045
同じ理由により

60
00:03:43,045 --> 00:03:45,836
10人のグループでは 45ペア

61
00:03:45,836 --> 00:03:49,835
23人の場合は 253ペアになります

62
00:03:49,835 --> 00:03:52,905
このペア数は人数の２乗に比例する

63
00:03:52,905 --> 00:03:57,665
二次関数的に増加していきます

64
00:03:57,665 --> 00:04:00,966
あいにく人の脳は非線形関数を

65
00:04:00,966 --> 00:04:04,447
直感的に把握するのが
とても苦手なので

66
00:04:04,447 --> 00:04:11,235
23人いれば253通りものペアが可能だとは
思いつかないのです

67
00:04:11,235 --> 00:04:15,267
これを受け入れれば誕生日の問題は
理にかなっていると思えるでしょう

68
00:04:15,267 --> 00:04:20,135
253組の どのペアにおいても
２人の誕生日が同じになる可能性があります

69
00:04:20,135 --> 00:04:22,897
同様に70人のグループだと

70
00:04:22,897 --> 00:04:26,616
2,415ペアが考えられ

71
00:04:26,616 --> 00:04:33,337
同じ誕生日の人が２人いる確率は
99.9%以上になります

72
00:04:33,337 --> 00:04:36,707
この誕生日の問題は
同じ人が２度宝くじに当たるといった

73
00:04:36,707 --> 00:04:38,917
一見不可能に思えることが

74
00:04:38,917 --> 00:04:41,410
実は全く起こり得ないことではないことを

75
00:04:41,410 --> 00:04:44,551
数学が示す一例にすぎません

76
00:04:44,551 --> 00:04:48,868
一見 偶然に見えることが
実は偶然ではないこともあるのです