0:00:10.048,0:00:11.933
人の集まりを想像してみてください

0:00:11.933,0:00:14.304
何人いれば

0:00:14.304,0:00:18.778
誕生日が同じ人がいる確率が

0:00:18.778,0:00:21.218
50%を超えると思いますか？

0:00:21.218,0:00:24.187
ここでは 双子はおらず

0:00:24.187,0:00:26.748
どの誕生日の確率も同じで

0:00:26.748,0:00:29.977
閏年は無視することにします

0:00:29.977,0:00:33.049
しばらく考えてみてください

0:00:33.049,0:00:35.908
答えを聞くと驚くほどに[br]小さな数字に思えるかもしれませんが

0:00:35.908,0:00:37.708
23人のグループなら

0:00:37.708,0:00:44.669
同じ誕生日の人が２人いる確率は[br]50.73%です

0:00:44.669,0:00:47.239
１年には365日もあるのに

0:00:47.239,0:00:50.489
誕生日が重なる確率が50%となるのが

0:00:50.489,0:00:53.700
なぜ こんなに少ない人数に[br]なり得るのでしょうか？

0:00:53.700,0:00:58.156
なぜ こんなにも[br]直感が外れたのでしょうか？

0:00:58.156,0:00:59.498
この答えを理解するために

0:00:59.498,0:01:01.389
誕生日が一致する確率を

0:01:01.389,0:01:05.218
数学者が計算する方法を見てみましょう

0:01:05.218,0:01:09.110
様々な組合せの起こり易さを[br]計算する―

0:01:09.110,0:01:14.419
数学の一分野である[br]組合せ理論を用います

0:01:14.419,0:01:16.950
まず最初に問題を[br]逆の見方で考えてみます

0:01:16.950,0:01:21.330
誕生日が一致する確率を[br]直接計算するのはとても困難です

0:01:21.330,0:01:25.229
なぜなら集団の中で誕生日が一致する[br]パターンは非常に多くあるからです

0:01:25.229,0:01:31.389
代わりに全員の誕生日が異なる確率を[br]求める方が簡単です

0:01:31.389,0:01:32.820
なぜ その方が良いのでしょうか？

0:01:32.820,0:01:35.741
グループの中で[br]誕生日が一致する人がいる確率と

0:01:35.741,0:01:38.461
誰も一致しない確率を足すと

0:01:38.461,0:01:41.860
100%になります

0:01:41.860,0:01:44.271
つまり 100から[br]一致しない確率を引けば

0:01:44.271,0:01:50.381
一致する確率が分かるわけです

0:01:50.381,0:01:53.806
まず少ない数で[br]一致しない確率を計算しましょう

0:01:53.806,0:01:58.281
２人の誕生日が異なる確率を[br]計算します

0:01:58.281,0:02:00.632
１年のある１日が[br]Aさんの誕生日だとすると

0:02:00.632,0:02:06.022
Bさんの誕生日は[br]364通りしかありません

0:02:06.022,0:02:10.592
２人の誕生日が異なる確率は

0:02:10.592,0:02:14.412
365分の364で

0:02:14.412,0:02:20.514
約0.997 つまり99.7%と[br]とても高いですね

0:02:20.514,0:02:22.562
Cさんを加えてみましょう

0:02:22.562,0:02:25.793
この小さなグループで[br]彼女の誕生日が異なる可能性は

0:02:25.793,0:02:29.532
365分の363です

0:02:29.532,0:02:33.964
それは 既にAとBの誕生日が[br]決まっているからです

0:02:33.964,0:02:38.582
Dの確率は365分の362になります

0:02:38.582,0:02:44.474
続けていくと23人目のWの確率は[br]365分の343になります

0:02:44.474,0:02:46.385
これらの数字をすべて掛けていけば

0:02:46.385,0:02:50.942
全員の誕生日が異なる確率が[br]計算できます

0:02:50.942,0:02:54.064
0.4927となるので

0:02:54.064,0:03:01.362
23人の誕生日が全て異なる可能性は[br]49.27%です

0:03:01.362,0:03:05.955
それを100から引くと

0:03:05.955,0:03:08.701
少なくとも１組が[br]同じ誕生日である確率は

0:03:08.701,0:03:11.955
50.73%になり[br]五分五分を超えています

0:03:11.955,0:03:16.144
比較的少ない人数なのに[br]確率が高くなるのは

0:03:16.144,0:03:20.325
実は考え得るペアの数が[br]非常に多いからです

0:03:20.325,0:03:26.017
グル－プが大きくなるにつれて[br]可能な組合せは急速に増加し

0:03:26.017,0:03:29.196
５人のグループでは[br]10ペアが可能です

0:03:29.196,0:03:32.905
５人にはそれぞれ[br]他の４人とのペアが考えられます

0:03:32.905,0:03:34.835
AとB､BとAのペアは[br]同じものであり

0:03:34.835,0:03:39.615
ペアの半分が[br]重複しているため

0:03:39.615,0:03:41.685
２で割ります

0:03:41.685,0:03:43.045
同じ理由により

0:03:43.045,0:03:45.836
10人のグループでは 45ペア

0:03:45.836,0:03:49.835
23人の場合は 253ペアになります

0:03:49.835,0:03:52.905
このペア数は人数の２乗に比例する

0:03:52.905,0:03:57.665
二次関数的に増加していきます

0:03:57.665,0:04:00.966
あいにく人の脳は非線形関数を

0:04:00.966,0:04:04.447
直感的に把握するのが[br]とても苦手なので

0:04:04.447,0:04:11.235
23人いれば253通りものペアが可能だとは[br]思いつかないのです

0:04:11.235,0:04:15.267
これを受け入れれば誕生日の問題は[br]理にかなっていると思えるでしょう

0:04:15.267,0:04:20.135
253組の どのペアにおいても[br]２人の誕生日が同じになる可能性があります

0:04:20.135,0:04:22.897
同様に70人のグループだと

0:04:22.897,0:04:26.616
2,415ペアが考えられ

0:04:26.616,0:04:33.337
同じ誕生日の人が２人いる確率は[br]99.9%以上になります

0:04:33.337,0:04:36.707
この誕生日の問題は[br]同じ人が２度宝くじに当たるといった

0:04:36.707,0:04:38.917
一見不可能に思えることが

0:04:38.917,0:04:41.410
実は全く起こり得ないことではないことを

0:04:41.410,0:04:44.551
数学が示す一例にすぎません

0:04:44.551,0:04:48.868
一見 偶然に見えることが[br]実は偶然ではないこともあるのです