WEBVTT

00:00:10.048 --> 00:00:11.933
Imaginez un groupe de personnes.

00:00:11.933 --> 00:00:14.334
A votre avis, quelle taille
devrait faire le groupe

00:00:14.334 --> 00:00:18.778
avant qu'il y a plus de 50% de chances
que deux personnes du groupe

00:00:18.778 --> 00:00:21.218
soient nées le même jour ?

00:00:21.218 --> 00:00:24.187
Pour cette discussion,
considérez qu'il n'y a pas de jumeaux,

00:00:24.187 --> 00:00:26.748
que chaque date de naissance
est équiprobable

00:00:26.748 --> 00:00:29.977
et ignorez les années bissextiles.

00:00:29.977 --> 00:00:33.049
Prenez un moment pour y réfléchir.

00:00:33.049 --> 00:00:35.908
La réponse pourrait sembler
étrangement faible.

00:00:35.908 --> 00:00:37.708
Dans un groupe de 23 personnes,

00:00:37.708 --> 00:00:41.669
il y a 50,73% de chances

00:00:41.669 --> 00:00:44.669
que deux personnes
soient nées le même jour.

00:00:44.669 --> 00:00:47.239
Mais avec 365 jours dans l'année,

00:00:47.239 --> 00:00:50.489
comment est-ce possible
d'avoir besoin d'un si petit groupe

00:00:50.489 --> 00:00:53.700
pour avoir autant de chances
d'avoir un anniversaire partagé ?

00:00:53.700 --> 00:00:58.156
Pourquoi notre intuition
a-t-elle totalement tort ?

00:00:58.156 --> 00:00:59.498
Pour trouver la réponse,

00:00:59.498 --> 00:01:01.389
considérons comment un mathématicien

00:01:01.389 --> 00:01:05.218
pourraient calculer les probabilités
d'avoir le même anniversaire.

00:01:05.218 --> 00:01:09.110
Nous pouvons utiliser un domaine
des mathématiques appelé combinatoire

00:01:09.110 --> 00:01:14.419
qui a affaire aux probabilités
de différentes combinaisons.

00:01:14.419 --> 00:01:16.950
La première étape
est de renverser le problème.

00:01:16.950 --> 00:01:21.330
Calculer directement les probabilités
de correspondance est complexe

00:01:21.330 --> 00:01:25.229
car cette correspondance
peut se produire de bien des façons.

00:01:25.229 --> 00:01:28.389
Il est plus facile
de calculer la probabilité

00:01:28.389 --> 00:01:31.389
de n'avoir que
des anniversaires différents.

00:01:31.389 --> 00:01:32.820
En quoi cela aide-t-il ?

00:01:32.820 --> 00:01:35.741
Soit il y a une correspondance
soit il n'y en a pas,

00:01:35.741 --> 00:01:38.461
la somme de ces deux probabilités

00:01:38.461 --> 00:01:41.860
doit faire 100%.

00:01:41.860 --> 00:01:44.271
Nous trouvons la probabilité
d'une correspondance

00:01:44.271 --> 00:01:50.381
en soustrayant de 100 la probabilité
qu'il n'y ait pas de correspondance.

00:01:50.381 --> 00:01:53.806
Pour la probabilité de ne pas avoir
de correspondance, allez-y doucement.

00:01:53.806 --> 00:01:55.281
Calculez la probabilité

00:01:55.281 --> 00:01:58.281
que deux personnes
aient des anniversaires différents.

00:01:58.281 --> 00:02:00.632
Un jour sera l'anniversaire
de la personne A,

00:02:00.632 --> 00:02:06.022
ce qui laisse 364 anniversaires
possibles pour la personne B.

00:02:06.022 --> 00:02:10.592
La probabilité d'avoir des anniversaires
différents pour A et B, deux personnes,

00:02:10.592 --> 00:02:14.412
est de 364 sur 365,

00:02:14.412 --> 00:02:20.514
environ 0,997 ou 99,7%.
C'est plutôt élevé.

00:02:20.514 --> 00:02:22.562
Faites entrer la personne C.

00:02:22.562 --> 00:02:25.793
La probabilité qu'elle ait
un anniversaire unique dans ce groupe

00:02:25.793 --> 00:02:29.532
est de 363 sur 365

00:02:29.532 --> 00:02:33.964
car il y a déjà deux anniversaires,
celui de A et celui de B.

00:02:33.964 --> 00:02:38.582
La probabilité pour D sera
de 362 sur 365 et ainsi de suite

00:02:38.582 --> 00:02:44.474
jusqu'à la probabilité de W
qui est de 343 sur 365.

00:02:44.474 --> 00:02:46.385
Multipliez tous ces termes

00:02:46.385 --> 00:02:50.942
et vous aurez la probabilité
que personne n'ait le même anniversaire.

00:02:50.942 --> 00:02:54.064
Le résultat est 0,4927,

00:02:54.064 --> 00:02:58.362
il y a 49,27% de chances
que personne ne partage d'anniversaire

00:02:58.362 --> 00:03:01.362
dans ce groupe de 23 personnes.

00:03:01.362 --> 00:03:05.955
Quand nous soustrayons cela à 100,
nous obtenons 50,73% de chances

00:03:05.955 --> 00:03:08.701
qu'au moins deux anniversaires
soient identiques,

00:03:08.701 --> 00:03:11.955
plus de la moitié.

00:03:11.955 --> 00:03:16.144
La clé d'une probabilité si élevée
de correspondance dans un petit groupe

00:03:16.144 --> 00:03:20.325
est le nombre étonnamment grand
de paires possibles.

00:03:20.325 --> 00:03:23.017
Alors que le groupe grossit,

00:03:23.017 --> 00:03:26.017
le nombre de combinaisons possibles
augmente bien plus vite.

00:03:26.017 --> 00:03:29.196
Dans un groupe de 5 personnes,
il y a 10 paires possibles.

00:03:29.196 --> 00:03:32.885
Chacune de ces 5 personnes peut
créer une paire avec chacune des 4 autres.

00:03:32.885 --> 00:03:35.025
La moitié de ces combinaisons
sont redondantes

00:03:35.025 --> 00:03:39.615
car apparier A avec B
revient à apparier B avec A,

00:03:39.615 --> 00:03:41.685
nous divisons donc par deux.

00:03:41.685 --> 00:03:43.045
Avec le même raisonnement,

00:03:43.045 --> 00:03:45.836
dans un groupe de 10 personnes,
il y a 45 paires possibles

00:03:45.836 --> 00:03:49.835
et dans un groupe de 23,
253 paires possibles.

00:03:49.835 --> 00:03:52.905
Le nombre de paires
augmente de façon quadratique,

00:03:52.905 --> 00:03:57.665
il est proportionnel au carré
du nombre de personnes dans le groupe.

00:03:57.665 --> 00:04:00.966
Malheureusement, nos cerveaux
sont connus pour avoir du mal

00:04:00.966 --> 00:04:04.447
à comprendre intuitivement
les fonctions non linéaires.

00:04:04.447 --> 00:04:11.235
Il semble improbable que 23 personnes
puissent produire 253 paires possibles.

00:04:11.235 --> 00:04:13.047
Une fois que notre cerveau l'accepte,

00:04:13.047 --> 00:04:15.267
le paradoxe des anniversaires
a plus de sens.

00:04:15.267 --> 00:04:20.135
Chacune de ces 253 paires est une chance
de correspondance d'anniversaires.

00:04:20.135 --> 00:04:22.897
Pour la même raison,
dans un groupe de 70 personnes,

00:04:22.897 --> 00:04:26.616
il y a 2 415 paires possibles

00:04:26.616 --> 00:04:30.337
et la probabilité que deux personnes
aient le même anniversaire

00:04:30.337 --> 00:04:33.337
est plus de 99,9%.

00:04:33.337 --> 00:04:36.707
Le paradoxe des anniversaires
n'est qu'un exemple où les maths montrent

00:04:36.707 --> 00:04:38.917
que des choses semblant impossibles,

00:04:38.917 --> 00:04:41.410
comme une même personne
gagnant deux fois au loto,

00:04:41.410 --> 00:04:44.551
ne sont pas si improbables.

00:04:44.562 --> 00:04:48.534
Parfois les coïncidences ne sont pas
aussi fortuites qu'il y paraît.