Imaginez un groupe de personnes.
A votre avis, quelle taille devrait faire le groupe
avant qu'il y a plus de 50% de chances que deux personnes du groupe
soient nées le même jour ?
Pour cette discussion, considérez qu'il n'y a pas de jumeaux,
que chaque date de naissance est équiprobable
et ignorez les années bissextiles.
Prenez un moment pour y réfléchir.
La réponse pourrait sembler étrangement faible.
Dans un groupe de 23 personnes,
il y a 50,73% de chances
que deux personnes soient nées le même jour.
Mais avec 365 jours dans l'année,
comment est-ce possible d'avoir besoin d'un si petit groupe
pour avoir autant de chances d'avoir un anniversaire partagé ?
Pourquoi notre intuition a-t-elle totalement tort ?
Pour trouver la réponse,
considérons comment un mathématicien
pourraient calculer les probabilités d'avoir le même anniversaire.
Nous pouvons utiliser un domaine des mathématiques appelé combinatoire
qui a affaire aux probabilités de différentes combinaisons.
La première étape est de renverser le problème.
Calculer directement les probabilités de correspondance est complexe
car cette correspondance peut se produire de bien des façons.
Il est plus facile de calculer la probabilité
de n'avoir que des anniversaires différents.
En quoi cela aide-t-il ?
Soit il y a une correspondance soit il n'y en a pas,
la somme de ces deux probabilités
doit faire 100%.
Nous trouvons la probabilité d'une correspondance
en soustrayant de 100 la probabilité qu'il n'y ait pas de correspondance.
Pour la probabilité de ne pas avoir de correspondance, allez-y doucement.
Calculez la probabilité
que deux personnes aient des anniversaires différents.
Un jour sera l'anniversaire de la personne A,
ce qui laisse 364 anniversaires possibles pour la personne B.
La probabilité d'avoir des anniversaires différents pour A et B, deux personnes,
est de 364 sur 365,
environ 0,997 ou 99,7%. C'est plutôt élevé.
Faites entrer la personne C.
La probabilité qu'elle ait un anniversaire unique dans ce groupe
est de 363 sur 365
car il y a déjà deux anniversaires, celui de A et celui de B.
La probabilité pour D sera de 362 sur 365 et ainsi de suite
jusqu'à la probabilité de W qui est de 343 sur 365.
Multipliez tous ces termes
et vous aurez la probabilité que personne n'ait le même anniversaire.
Le résultat est 0,4927,
il y a 49,27% de chances que personne ne partage d'anniversaire
dans ce groupe de 23 personnes.
Quand nous soustrayons cela à 100, nous obtenons 50,73% de chances
qu'au moins deux anniversaires soient identiques,
plus de la moitié.
La clé d'une probabilité si élevée de correspondance dans un petit groupe
est le nombre étonnamment grand de paires possibles.
Alors que le groupe grossit,
le nombre de combinaisons possibles augmente bien plus vite.
Dans un groupe de 5 personnes, il y a 10 paires possibles.
Chacune de ces 5 personnes peut créer une paire avec chacune des 4 autres.
La moitié de ces combinaisons sont redondantes
car apparier A avec B revient à apparier B avec A,
nous divisons donc par deux.
Avec le même raisonnement,
dans un groupe de 10 personnes, il y a 45 paires possibles
et dans un groupe de 23, 253 paires possibles.
Le nombre de paires augmente de façon quadratique,
il est proportionnel au carré du nombre de personnes dans le groupe.
Malheureusement, nos cerveaux sont connus pour avoir du mal
à comprendre intuitivement les fonctions non linéaires.
Il semble improbable que 23 personnes puissent produire 253 paires possibles.
Une fois que notre cerveau l'accepte,
le paradoxe des anniversaires a plus de sens.
Chacune de ces 253 paires est une chance de correspondance d'anniversaires.
Pour la même raison, dans un groupe de 70 personnes,
il y a 2 415 paires possibles
et la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire
est plus de 99,9%.
Le paradoxe des anniversaires n'est qu'un exemple où les maths montrent
que des choses semblant impossibles,
comme une même personne gagnant deux fois au loto,
ne sont pas si improbables.
Parfois les coïncidences ne sont pas aussi fortuites qu'il y paraît.