1
00:00:10,048 --> 00:00:11,933
Imaginez un groupe de personnes.

2
00:00:11,933 --> 00:00:14,334
A votre avis, quelle taille
devrait faire le groupe

3
00:00:14,334 --> 00:00:18,778
avant qu'il y a plus de 50% de chances
que deux personnes du groupe

4
00:00:18,778 --> 00:00:21,218
soient nées le même jour ?

5
00:00:21,218 --> 00:00:24,187
Pour cette discussion,
considérez qu'il n'y a pas de jumeaux,

6
00:00:24,187 --> 00:00:26,748
que chaque date de naissance
est équiprobable

7
00:00:26,748 --> 00:00:29,977
et ignorez les années bissextiles.

8
00:00:29,977 --> 00:00:33,049
Prenez un moment pour y réfléchir.

9
00:00:33,049 --> 00:00:35,908
La réponse pourrait sembler
étrangement faible.

10
00:00:35,908 --> 00:00:37,708
Dans un groupe de 23 personnes,

11
00:00:37,708 --> 00:00:41,669
il y a 50,73% de chances

12
00:00:41,669 --> 00:00:44,669
que deux personnes
soient nées le même jour.

13
00:00:44,669 --> 00:00:47,239
Mais avec 365 jours dans l'année,

14
00:00:47,239 --> 00:00:50,489
comment est-ce possible
d'avoir besoin d'un si petit groupe

15
00:00:50,489 --> 00:00:53,700
pour avoir autant de chances
d'avoir un anniversaire partagé ?

16
00:00:53,700 --> 00:00:58,156
Pourquoi notre intuition
a-t-elle totalement tort ?

17
00:00:58,156 --> 00:00:59,498
Pour trouver la réponse,

18
00:00:59,498 --> 00:01:01,389
considérons comment un mathématicien

19
00:01:01,389 --> 00:01:05,218
pourraient calculer les probabilités
d'avoir le même anniversaire.

20
00:01:05,218 --> 00:01:09,110
Nous pouvons utiliser un domaine
des mathématiques appelé combinatoire

21
00:01:09,110 --> 00:01:14,419
qui a affaire aux probabilités
de différentes combinaisons.

22
00:01:14,419 --> 00:01:16,950
La première étape
est de renverser le problème.

23
00:01:16,950 --> 00:01:21,330
Calculer directement les probabilités
de correspondance est complexe

24
00:01:21,330 --> 00:01:25,229
car cette correspondance
peut se produire de bien des façons.

25
00:01:25,229 --> 00:01:28,389
Il est plus facile
de calculer la probabilité

26
00:01:28,389 --> 00:01:31,389
de n'avoir que
des anniversaires différents.

27
00:01:31,389 --> 00:01:32,820
En quoi cela aide-t-il ?

28
00:01:32,820 --> 00:01:35,741
Soit il y a une correspondance
soit il n'y en a pas,

29
00:01:35,741 --> 00:01:38,461
la somme de ces deux probabilités

30
00:01:38,461 --> 00:01:41,860
doit faire 100%.

31
00:01:41,860 --> 00:01:44,271
Nous trouvons la probabilité
d'une correspondance

32
00:01:44,271 --> 00:01:50,381
en soustrayant de 100 la probabilité
qu'il n'y ait pas de correspondance.

33
00:01:50,381 --> 00:01:53,806
Pour la probabilité de ne pas avoir
de correspondance, allez-y doucement.

34
00:01:53,806 --> 00:01:55,281
Calculez la probabilité

35
00:01:55,281 --> 00:01:58,281
que deux personnes
aient des anniversaires différents.

36
00:01:58,281 --> 00:02:00,632
Un jour sera l'anniversaire
de la personne A,

37
00:02:00,632 --> 00:02:06,022
ce qui laisse 364 anniversaires
possibles pour la personne B.

38
00:02:06,022 --> 00:02:10,592
La probabilité d'avoir des anniversaires
différents pour A et B, deux personnes,

39
00:02:10,592 --> 00:02:14,412
est de 364 sur 365,

40
00:02:14,412 --> 00:02:20,514
environ 0,997 ou 99,7%.
C'est plutôt élevé.

41
00:02:20,514 --> 00:02:22,562
Faites entrer la personne C.

42
00:02:22,562 --> 00:02:25,793
La probabilité qu'elle ait
un anniversaire unique dans ce groupe

43
00:02:25,793 --> 00:02:29,532
est de 363 sur 365

44
00:02:29,532 --> 00:02:33,964
car il y a déjà deux anniversaires,
celui de A et celui de B.

45
00:02:33,964 --> 00:02:38,582
La probabilité pour D sera
de 362 sur 365 et ainsi de suite

46
00:02:38,582 --> 00:02:44,474
jusqu'à la probabilité de W
qui est de 343 sur 365.

47
00:02:44,474 --> 00:02:46,385
Multipliez tous ces termes

48
00:02:46,385 --> 00:02:50,942
et vous aurez la probabilité
que personne n'ait le même anniversaire.

49
00:02:50,942 --> 00:02:54,064
Le résultat est 0,4927,

50
00:02:54,064 --> 00:02:58,362
il y a 49,27% de chances
que personne ne partage d'anniversaire

51
00:02:58,362 --> 00:03:01,362
dans ce groupe de 23 personnes.

52
00:03:01,362 --> 00:03:05,955
Quand nous soustrayons cela à 100,
nous obtenons 50,73% de chances

53
00:03:05,955 --> 00:03:08,701
qu'au moins deux anniversaires
soient identiques,

54
00:03:08,701 --> 00:03:11,955
plus de la moitié.

55
00:03:11,955 --> 00:03:16,144
La clé d'une probabilité si élevée
de correspondance dans un petit groupe

56
00:03:16,144 --> 00:03:20,325
est le nombre étonnamment grand
de paires possibles.

57
00:03:20,325 --> 00:03:23,017
Alors que le groupe grossit,

58
00:03:23,017 --> 00:03:26,017
le nombre de combinaisons possibles
augmente bien plus vite.

59
00:03:26,017 --> 00:03:29,196
Dans un groupe de 5 personnes,
il y a 10 paires possibles.

60
00:03:29,196 --> 00:03:32,885
Chacune de ces 5 personnes peut
créer une paire avec chacune des 4 autres.

61
00:03:32,885 --> 00:03:35,025
La moitié de ces combinaisons
sont redondantes

62
00:03:35,025 --> 00:03:39,615
car apparier A avec B
revient à apparier B avec A,

63
00:03:39,615 --> 00:03:41,685
nous divisons donc par deux.

64
00:03:41,685 --> 00:03:43,045
Avec le même raisonnement,

65
00:03:43,045 --> 00:03:45,836
dans un groupe de 10 personnes,
il y a 45 paires possibles

66
00:03:45,836 --> 00:03:49,835
et dans un groupe de 23,
253 paires possibles.

67
00:03:49,835 --> 00:03:52,905
Le nombre de paires
augmente de façon quadratique,

68
00:03:52,905 --> 00:03:57,665
il est proportionnel au carré
du nombre de personnes dans le groupe.

69
00:03:57,665 --> 00:04:00,966
Malheureusement, nos cerveaux
sont connus pour avoir du mal

70
00:04:00,966 --> 00:04:04,447
à comprendre intuitivement
les fonctions non linéaires.

71
00:04:04,447 --> 00:04:11,235
Il semble improbable que 23 personnes
puissent produire 253 paires possibles.

72
00:04:11,235 --> 00:04:13,047
Une fois que notre cerveau l'accepte,

73
00:04:13,047 --> 00:04:15,267
le paradoxe des anniversaires
a plus de sens.

74
00:04:15,267 --> 00:04:20,135
Chacune de ces 253 paires est une chance
de correspondance d'anniversaires.

75
00:04:20,135 --> 00:04:22,897
Pour la même raison,
dans un groupe de 70 personnes,

76
00:04:22,897 --> 00:04:26,616
il y a 2 415 paires possibles

77
00:04:26,616 --> 00:04:30,337
et la probabilité que deux personnes
aient le même anniversaire

78
00:04:30,337 --> 00:04:33,337
est plus de 99,9%.

79
00:04:33,337 --> 00:04:36,707
Le paradoxe des anniversaires
n'est qu'un exemple où les maths montrent

80
00:04:36,707 --> 00:04:38,917
que des choses semblant impossibles,

81
00:04:38,917 --> 00:04:41,410
comme une même personne
gagnant deux fois au loto,

82
00:04:41,410 --> 00:04:44,551
ne sont pas si improbables.

83
00:04:44,562 --> 00:04:48,534
Parfois les coïncidences ne sont pas
aussi fortuites qu'il y paraît.