0:00:10.048,0:00:11.933
Imaginez un groupe de personnes.

0:00:11.933,0:00:14.334
A votre avis, quelle taille[br]devrait faire le groupe

0:00:14.334,0:00:18.778
avant qu'il y a plus de 50% de chances[br]que deux personnes du groupe

0:00:18.778,0:00:21.218
soient nées le même jour ?

0:00:21.218,0:00:24.187
Pour cette discussion,[br]considérez qu'il n'y a pas de jumeaux,

0:00:24.187,0:00:26.748
que chaque date de naissance[br]est équiprobable

0:00:26.748,0:00:29.977
et ignorez les années bissextiles.

0:00:29.977,0:00:33.049
Prenez un moment pour y réfléchir.

0:00:33.049,0:00:35.908
La réponse pourrait sembler[br]étrangement faible.

0:00:35.908,0:00:37.708
Dans un groupe de 23 personnes,

0:00:37.708,0:00:41.669
il y a 50,73% de chances

0:00:41.669,0:00:44.669
que deux personnes[br]soient nées le même jour.

0:00:44.669,0:00:47.239
Mais avec 365 jours dans l'année,

0:00:47.239,0:00:50.489
comment est-ce possible[br]d'avoir besoin d'un si petit groupe

0:00:50.489,0:00:53.700
pour avoir autant de chances[br]d'avoir un anniversaire partagé ?

0:00:53.700,0:00:58.156
Pourquoi notre intuition[br]a-t-elle totalement tort ?

0:00:58.156,0:00:59.498
Pour trouver la réponse,

0:00:59.498,0:01:01.389
considérons comment un mathématicien

0:01:01.389,0:01:05.218
pourraient calculer les probabilités[br]d'avoir le même anniversaire.

0:01:05.218,0:01:09.110
Nous pouvons utiliser un domaine[br]des mathématiques appelé combinatoire

0:01:09.110,0:01:14.419
qui a affaire aux probabilités[br]de différentes combinaisons.

0:01:14.419,0:01:16.950
La première étape[br]est de renverser le problème.

0:01:16.950,0:01:21.330
Calculer directement les probabilités[br]de correspondance est complexe

0:01:21.330,0:01:25.229
car cette correspondance[br]peut se produire de bien des façons.

0:01:25.229,0:01:28.389
Il est plus facile[br]de calculer la probabilité

0:01:28.389,0:01:31.389
de n'avoir que[br]des anniversaires différents.

0:01:31.389,0:01:32.820
En quoi cela aide-t-il ?

0:01:32.820,0:01:35.741
Soit il y a une correspondance[br]soit il n'y en a pas,

0:01:35.741,0:01:38.461
la somme de ces deux probabilités

0:01:38.461,0:01:41.860
doit faire 100%.

0:01:41.860,0:01:44.271
Nous trouvons la probabilité[br]d'une correspondance

0:01:44.271,0:01:50.381
en soustrayant de 100 la probabilité[br]qu'il n'y ait pas de correspondance.

0:01:50.381,0:01:53.806
Pour la probabilité de ne pas avoir[br]de correspondance, allez-y doucement.

0:01:53.806,0:01:55.281
Calculez la probabilité

0:01:55.281,0:01:58.281
que deux personnes[br]aient des anniversaires différents.

0:01:58.281,0:02:00.632
Un jour sera l'anniversaire[br]de la personne A,

0:02:00.632,0:02:06.022
ce qui laisse 364 anniversaires[br]possibles pour la personne B.

0:02:06.022,0:02:10.592
La probabilité d'avoir des anniversaires[br]différents pour A et B, deux personnes,

0:02:10.592,0:02:14.412
est de 364 sur 365,

0:02:14.412,0:02:20.514
environ 0,997 ou 99,7%.[br]C'est plutôt élevé.

0:02:20.514,0:02:22.562
Faites entrer la personne C.

0:02:22.562,0:02:25.793
La probabilité qu'elle ait[br]un anniversaire unique dans ce groupe

0:02:25.793,0:02:29.532
est de 363 sur 365

0:02:29.532,0:02:33.964
car il y a déjà deux anniversaires,[br]celui de A et celui de B.

0:02:33.964,0:02:38.582
La probabilité pour D sera[br]de 362 sur 365 et ainsi de suite

0:02:38.582,0:02:44.474
jusqu'à la probabilité de W[br]qui est de 343 sur 365.

0:02:44.474,0:02:46.385
Multipliez tous ces termes

0:02:46.385,0:02:50.942
et vous aurez la probabilité[br]que personne n'ait le même anniversaire.

0:02:50.942,0:02:54.064
Le résultat est 0,4927,

0:02:54.064,0:02:58.362
il y a 49,27% de chances[br]que personne ne partage d'anniversaire

0:02:58.362,0:03:01.362
dans ce groupe de 23 personnes.

0:03:01.362,0:03:05.955
Quand nous soustrayons cela à 100,[br]nous obtenons 50,73% de chances

0:03:05.955,0:03:08.701
qu'au moins deux anniversaires[br]soient identiques,

0:03:08.701,0:03:11.955
plus de la moitié.

0:03:11.955,0:03:16.144
La clé d'une probabilité si élevée[br]de correspondance dans un petit groupe

0:03:16.144,0:03:20.325
est le nombre étonnamment grand[br]de paires possibles.

0:03:20.325,0:03:23.017
Alors que le groupe grossit,

0:03:23.017,0:03:26.017
le nombre de combinaisons possibles[br]augmente bien plus vite.

0:03:26.017,0:03:29.196
Dans un groupe de 5 personnes,[br]il y a 10 paires possibles.

0:03:29.196,0:03:32.885
Chacune de ces 5 personnes peut[br]créer une paire avec chacune des 4 autres.

0:03:32.885,0:03:35.025
La moitié de ces combinaisons[br]sont redondantes

0:03:35.025,0:03:39.615
car apparier A avec B[br]revient à apparier B avec A,

0:03:39.615,0:03:41.685
nous divisons donc par deux.

0:03:41.685,0:03:43.045
Avec le même raisonnement,

0:03:43.045,0:03:45.836
dans un groupe de 10 personnes,[br]il y a 45 paires possibles

0:03:45.836,0:03:49.835
et dans un groupe de 23,[br]253 paires possibles.

0:03:49.835,0:03:52.905
Le nombre de paires[br]augmente de façon quadratique,

0:03:52.905,0:03:57.665
il est proportionnel au carré[br]du nombre de personnes dans le groupe.

0:03:57.665,0:04:00.966
Malheureusement, nos cerveaux[br]sont connus pour avoir du mal

0:04:00.966,0:04:04.447
à comprendre intuitivement[br]les fonctions non linéaires.

0:04:04.447,0:04:11.235
Il semble improbable que 23 personnes[br]puissent produire 253 paires possibles.

0:04:11.235,0:04:13.047
Une fois que notre cerveau l'accepte,

0:04:13.047,0:04:15.267
le paradoxe des anniversaires[br]a plus de sens.

0:04:15.267,0:04:20.135
Chacune de ces 253 paires est une chance[br]de correspondance d'anniversaires.

0:04:20.135,0:04:22.897
Pour la même raison,[br]dans un groupe de 70 personnes,

0:04:22.897,0:04:26.616
il y a 2 415 paires possibles

0:04:26.616,0:04:30.337
et la probabilité que deux personnes[br]aient le même anniversaire

0:04:30.337,0:04:33.337
est plus de 99,9%.

0:04:33.337,0:04:36.707
Le paradoxe des anniversaires[br]n'est qu'un exemple où les maths montrent

0:04:36.707,0:04:38.917
que des choses semblant impossibles,

0:04:38.917,0:04:41.410
comme une même personne[br]gagnant deux fois au loto,

0:04:41.410,0:04:44.551
ne sont pas si improbables.

0:04:44.562,0:04:48.534
Parfois les coïncidences ne sont pas[br]aussi fortuites qu'il y paraît.