Imaginez un groupe de personnes.
A votre avis, quelle taille
devrait faire le groupe
avant qu'il y a plus de 50% de chances
que deux personnes du groupe
soient nées le même jour ?
Pour cette discussion,
considérez qu'il n'y a pas de jumeaux,
que chaque date de naissance
est équiprobable
et ignorez les années bissextiles.
Prenez un moment pour y réfléchir.
La réponse pourrait sembler
étrangement faible.
Dans un groupe de 23 personnes,
il y a 50,73% de chances
que deux personnes
soient nées le même jour.
Mais avec 365 jours dans l'année,
comment est-ce possible
d'avoir besoin d'un si petit groupe
pour avoir autant de chances
d'avoir un anniversaire partagé ?
Pourquoi notre intuition
a-t-elle totalement tort ?
Pour trouver la réponse,
considérons comment un mathématicien
pourraient calculer les probabilités
d'avoir le même anniversaire.
Nous pouvons utiliser un domaine
des mathématiques appelé combinatoire
qui a affaire aux probabilités
de différentes combinaisons.
La première étape
est de renverser le problème.
Calculer directement les probabilités
de correspondance est complexe
car cette correspondance
peut se produire de bien des façons.
Il est plus facile
de calculer la probabilité
de n'avoir que
des anniversaires différents.
En quoi cela aide-t-il ?
Soit il y a une correspondance
soit il n'y en a pas,
la somme de ces deux probabilités
doit faire 100%.
Nous trouvons la probabilité
d'une correspondance
en soustrayant de 100 la probabilité
qu'il n'y ait pas de correspondance.
Pour la probabilité de ne pas avoir
de correspondance, allez-y doucement.
Calculez la probabilité
que deux personnes
aient des anniversaires différents.
Un jour sera l'anniversaire
de la personne A,
ce qui laisse 364 anniversaires
possibles pour la personne B.
La probabilité d'avoir des anniversaires
différents pour A et B, deux personnes,
est de 364 sur 365,
environ 0,997 ou 99,7%.
C'est plutôt élevé.
Faites entrer la personne C.
La probabilité qu'elle ait
un anniversaire unique dans ce groupe
est de 363 sur 365
car il y a déjà deux anniversaires,
celui de A et celui de B.
La probabilité pour D sera
de 362 sur 365 et ainsi de suite
jusqu'à la probabilité de W
qui est de 343 sur 365.
Multipliez tous ces termes
et vous aurez la probabilité
que personne n'ait le même anniversaire.
Le résultat est 0,4927,
il y a 49,27% de chances
que personne ne partage d'anniversaire
dans ce groupe de 23 personnes.
Quand nous soustrayons cela à 100,
nous obtenons 50,73% de chances
qu'au moins deux anniversaires
soient identiques,
plus de la moitié.
La clé d'une probabilité si élevée
de correspondance dans un petit groupe
est le nombre étonnamment grand
de paires possibles.
Alors que le groupe grossit,
le nombre de combinaisons possibles
augmente bien plus vite.
Dans un groupe de 5 personnes,
il y a 10 paires possibles.
Chacune de ces 5 personnes peut
créer une paire avec chacune des 4 autres.
La moitié de ces combinaisons
sont redondantes
car apparier A avec B
revient à apparier B avec A,
nous divisons donc par deux.
Avec le même raisonnement,
dans un groupe de 10 personnes,
il y a 45 paires possibles
et dans un groupe de 23,
253 paires possibles.
Le nombre de paires
augmente de façon quadratique,
il est proportionnel au carré
du nombre de personnes dans le groupe.
Malheureusement, nos cerveaux
sont connus pour avoir du mal
à comprendre intuitivement
les fonctions non linéaires.
Il semble improbable que 23 personnes
puissent produire 253 paires possibles.
Une fois que notre cerveau l'accepte,
le paradoxe des anniversaires
a plus de sens.
Chacune de ces 253 paires est une chance
de correspondance d'anniversaires.
Pour la même raison,
dans un groupe de 70 personnes,
il y a 2 415 paires possibles
et la probabilité que deux personnes
aient le même anniversaire
est plus de 99,9%.
Le paradoxe des anniversaires
n'est qu'un exemple où les maths montrent
que des choses semblant impossibles,
comme une même personne
gagnant deux fois au loto,
ne sont pas si improbables.
Parfois les coïncidences ne sont pas
aussi fortuites qu'il y paraît.