هيا بنا نتعلم الضرب
الضرب
وأعتقد أن حل بعض التمارين هو أفضل طريقة لتعلم أي شئ
إذن, هيا لنبدأ بحل التمارين
.لنستكشف ماذا تعني
في المثال الأول لدينا 2 x 3
انت ربما حاليا تعرف ناتج جمع 2 + 3
2+3
=5
وإذا كنت تحتاج إلى مراجعة خفيفة على عملية الجمع
فلنفترض أن لدينا اثنان مثلا من اللون القرمزي
وهذا لون حبات الكرز
فإذا أردت إضافة 3 من حبات التوت الأزرق إليهم
فما هو عدد كل حبات الفاكهة الي لدنا؟
سوف تقول1، 2، 3، 4، 5
ويمكننا استخدام طريقة أخرى وهي خط الأعداد.
.أنت ربما لا تحتاج إلى هذه المراجعة ولكن لا مانع من أن نفعل
ذلك يساعدنا على تقوية المفاهيم
إذن, هذا هو 0، 1،2،3،4،5
لنضع 2 على الجانب الأيمن من 0
.ودائما نتجه يمينا عندما نتحدث عن الأعداد الموجبة
وإذا أردت إضافة 3 أليهم
فلنتحرك ثلاث منازل الى اليمين
فإذا تحركنا 3 منازل الى اليمين
إلى إين سننتهي؟
.واحد, اثنان, ثلاثة
سننتهي إلى الخمسة
إذن بكلتا الطريقتين أنت فهمت أن ناتج جمع 2 + 3 = 5
فماذا عن حاصل ضرب 2 x3؟
أفضل طريقة لمعرفة معنى الضرب
أنه طريقة سهلة لجمع رقم على نفسه عدة مرات
وهذا يعني أنك...إنها خادعة بعض الشئ
أنت لن تقوم باضافة 2 الى الـ3
سنقوم بعملية الجمع
هناك في الواقع طريقتين للتفكير بعملية الضرب
.سوف تقوم بجمع اثنان على نفسها ثلاث مرات
والآن ماذا يعنى هذا؟
حسنا, هذا يعني أن تقول 2 + 2 + 2
إذن, أين ذهبت الثلاثة؟
حسنا, كم لدينا من العدد "2" هنا؟
هيا نرى, لدينا..واحد, اثنان, لدي ثلاثة
"لدينا ثلاثة من العدد "2
لقت قمت بعدهم هنا
تماما مثلما فعلت عندما قمت بعد حبات التوت الأزرق هنا
لدينا واحد, اثنان, ثلاثة من حبات التوت الأزرق
"لدينا واحد, اثنان, ثلاثة من العدد "2
هذه 3 هي التي حددت لدي كم مرة سأقوم بجمع 2 على نفسها
إذن ماهو حاصل ضرب 2x 3؟
حسنا, لقد اخذنا 2 وأضفناها إلى نفسها ثلاث مرات
2+2=4
4+2=6
حتى الآن, هذه هي الطريقة الأولى للتفكير بعملية الضرب
أما الطريقة الثانية فيمكننا أن تفكر بعملية الضرب بأنه
بدلا من القيام بجمع 2 إلى نفسها ثلاث مرات
.فإننا نستطيع جمع 3 إلى نفسها مرتين
أعلم أن هذا مربك بعض الشئ
ولكن بمزيد من التدريب سوف تصبح عملية بديهية
فلنعد كتابة هذه الجملة مرة ثانية
2x3
ويمكننا كتابتها كالتالي: 3 مرتين
3+3
ومرة ثانية, إين ستذهب هذه "2"؟
انت تعلم أننا لدينا2x3
ففي عملية الجمع, كان لدينا 2
من حبات الكرز, أو قد تكون 2 من حبات التوت الأحمر أو أي شئ
باختصار كان لدي شيئان وكان لدي ثلاثة أشياء
ولم يختفي أيا منهما
ولقد أضفتهم إلى بعضهم البعض فأصبح لدي 5
وهنا وجدنا أن حاصل ضرب 2x3
هو نفسه ناتج جمع 3+3
اين ذهبت الـ2 اذاً؟
2 في هذه الحالة
هي عدد مرات إضافة 3 إلى نفسها
والمفيد هنا أنه بغض النظر عن الطريقة التي اتبعناها لإيجاد حاصل ضرب 2x3
فيمكنني أن أقول أنها 2 + 2 + 2
أي إضافة 2 إلى نفسها ثلاث مرات
يمكنني بأن أقول هذا أو أقول أنها
إضافة 3 إلى نفسها مرتين
ولكن لاحظ, النتيجة واحدة
ما هو ناتج جمع 3+3؟
هو أيضا =6
ربما تكون هذه هي المرة الأولى في الرياضيات
التي تقابل فيها هذا النوع من المسائل اللطيفة
فبغض النظر عن الطريقة التي تتبعها في حلها
طالما أنك تتبع الطريق الصحيح, سوف تحصل على نفس النتيجة
فيمكننا أن نرى شخصين ينظران إليها بمنظورين مختلفين
وطالما أن المنظور صحيح
منظورين مختلفين أي مسألتين مختلفتين ولكن النتيجة واحدة
قد تسأل
متى تصبح عملية الضرب ذات فائدة؟
وها هي الفائدة
فهي تسهل أحيانا عملية العد
لنفترض أن لدينا
لنعد استخدام فكرة الفاكهة
وهي الفكرة التي استخدامها ربما يسهل من العملية
ولا اريد ان اتمادى في هذا
ولنأخد مثالا على الفاكهة
ليكن الليمون
دعني أرسم مجموعة من حبات الليمون
سأرسمهم في صفوف تحوي كل منها على 3 ليمونات
لدي واحد, اثنان, ثلاثة, حسنا لن أقوم بعدهم جميعا
لأن هذا سيوضح لك الحل
أنا فقط أقوم برسم مجموعة من حبات الليمون
وإذا سألتك كم عدد الليمون الذي لدينا؟
إذا فعلت ذلك
سوف تقوم ببساطة بعد كل هذا الليمون
ولن يستغرق منك هذا وقتا طويلا حتى تقول لي إنه
هناك 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11،12 ليمونة
لقد قمت بالفعل بإعطائك الإجابة
أنت تعرف الآن أن لدينا 12 ليمونة
ولكن هناك طريقة أسهل
وأسرع من ذلك لحساب عدد هذا الليمون
لاحظ, كم عدد الليمون في كل صف؟
والصف هو ذلك الذي يحتوي ليمونا متراصا بجوار بعضه
أعتقد أنك تعرف معنى الصف
لا أريد أن أبسط الأمور أكثر من اللازم
إذن, كم عدد الليمون في كل صف؟
حسنا, هناك 3 ليمونات في كل صف
والآن دعني أسألك سؤالا آخر
كم عدد الصفوف لدينا؟
حسنا, هذا هو الصف الأول, هذا هو الصف الثاني
هذا هو الصف الثالث وهذا هو الصف الرابع
إذن أسهل طريقة لحساب عدد هذا الليمون هي أن تقول أن لدينا 3 ليمونات في كل صف
ولدينا 4 صفوف
لدينا 3 ليمونات في كل صف
أتمنى ألا أكون قد أربكتك ولكنى أعتقد أنك ستسر بهذا
وأيضا لدينا 4 صفوف.
إذن لدينا 4x3 من الليمون
4x3
وهذا يجب أن يساوي عدد الليمون الذي لدينا, 12
لنحلها باستخدام اسلوب الجمع الذي اتبعناه من قبل
دعنا نفكر فيها
4x3 تعني
فعليا عندما تقول الكلمات أربعة ضرب ثلاثة
فإنني أرها
أراها أربعة ضرب ثلاثة
أي 3 أربع مرات
ثلاثة + ثلاثة + ثلاثة+ ثلاثة
وإذا جمعناهم سنحصل على
3+3=6
6+3=9
9+3=12
ونحن حتى الآن
علمنا أن مسألة الضرب هذه
تكون تبديلية
3x4
أي أن نعكس الترتيب
وعكس الترتيب هذا من أهم
وأفضل صفة لعمليات الضرب
فيمكننا كتابتها كـ4 ثلاث مرات
4+4+4
اي نجمع 4 ثلاث مرات
4+4=8
8+4=12
باللغة الانجليزية الامريكية يقولون 4x3
إلا أن الكثير منهم
والكثير ممن قابلت يفضلون أن يتعاملوا مع الضرب
باللغة الإنجليزية البريطانية
فنراهم يقرأون هذه المسألة مثلا أربع ثلاثات أو ثلاث أربعات
وهذا التعبير أقرب إلى مفهوم الضرب
بالرغم من أننا نراه غريبا عند سماعه للمرة الأولى
فعندما يكتبون مسألة الضرب هذه
أو ينطقونها
يقولون كم يكون حاصل ضرب أربع ثلاثات؟
وعندما يقولون ذلك
فهم يقصدون هذا المعنى
هذه هي الثلاثة الأولى, الثلاثة الثانية, الثلاثة الثالثة و الثلاثة الرابعة
كم سيكون الناتج إذا جمعتهم؟
إنه 12
قد تقول لي أيضا كم يكون ثلاث أربعات؟
دعنى إذاً أكتب هذا
دعني أكتبها بلون مختلف
قلنا هذه أربع ثلاثات
وتعني حرفيا أربع ثلاثات
فإذا قلت لك مثلا اكتب أربع ثلاثات وإجمعهم
فهذا ما ستفعله
وهذا يعني 4x3
أو 3 أربع مرات
وهذا دعني أكتبه بلون مختلف
هذه هي الثلاث أربعات
ويمكنني أيضا كتابتها 3x4
وأيا منهم سوف يعطي النتيجة 12
والآن ربما تقول لي
حسنأ, هذا جيد ولطيف ولكن خادع بعض الشئ
ذلك الذي تعلمناه
لكن من الأسرع أن أعد هذا الليمون
من أن أقوم بحل هذه المسألة
نعم, هذا فقط صحيح لأن عملية الضرب جديدة عليك
ولكنك ستجد أنه في أحيان
بل في كثير من الأحيان
لا اريد ان استخدم كلمة "ضرب" كثيراً في هذا العرض
أنه بدلا من أن أن يحتوي كل صف
على 3 ليمونات
تجده ربما يحتوي على 100 ليمونة
وربما هناك أيضا 100 صف
حينها سيأخد منك هذا دهرا حتى تعد كل هذا الليمون
وهنا تأتي فائدة الضرب
حتى لو لم نتعلم اليوم كيف نضرب 100x100
والآن المعلومة الوحيدة التي أريدك الحصول عليها
وهي خادعة بعض الشئ
أتذكر أختى, فقط لتريني كم هي أكثر ذكاء منى
وذلك عندما كنت في مرحلة ما قبل الإبتدائية وهي في الصف الثالث
كانت تقول لي, ما هو حاصل ضرب 3x1؟
وكنت أرد عيها, حسبما كان يتصورعقلي
أن هذا مثل 3+1
فكنت أقول 3+1=4
وهذا ما كنت أقوله
3x1 يجب ان تساوي 4 أيضا
وكانت تقول لي: لا أيها الغبي إنه 3
وكنت أتعجب كيف يكون هذا؟
كيف يكون حاصل ضرب 3 في اي رقم آخر يكون 3؟
لكن فكر في ما يعنيه هذا
يمكنك أن تنظر إليه على أنه لديك ثلاثة من العدد 1
فما هو مجموع هذه الـ3 من العدد 1؟
هذا هو 1 +1 + 1
هذا يساوي 3
ويمكنك أن تنظر إليه على أنه لديك واحدة فقط من العدد 3
فماذا يعني أن يكون لديك 3 مرة واحدة فقط؟
انظر كم هي سهلة
لديك ثلاثة فقط
هذه 3 واحدة
يمكن أن تكتب هذا: 3 واحدة
وهذا يوضح لماذا حاصل ضرب أي عدد x1
أو حاصل ضرب واحد x أي عدد
هو نفس العدد
وبالتالي حاصل ضرب 3x1=3
1x3=3
إذن لو قلت لك 100x1
فهذا يساوي 100
ولو قلت لك 1x39
فهذا يساوي 39
أظن أنك الآن لا ترى مشكلة في أي من الأعداد الكبيرة عندما نضربها في 1
وهذا جيد
هناك معلومة شيقة أخرى في عملية الضرب
وهي عندما تضرب في صفر
سوف أستخدم نفس منطق الجمع
3+0, أنت تعلم أنها
=3
وذلك لأنني أضفت لاشئ إلى 3
فإذا كان لديك 3 تفاحات
ثم أعطيك عدد 0 من التفاح
فأنت لا يزال معك 3 تفاحات
لكن ماذا عن حاضل ضرب 3
لقد ركزت كثيرا على العدد 3
دعني أغير
ماذا عن حاصل ضرب 4x0؟
هذا يعني صفر أربع مرات
فماذا يكون ناتج جمع 0+0+0+0
إنه 0
أليس كذلك؟ لدي لاشئ + لاشئ + لاشئ +لاشئ
الناتج لاشئ
فكر فيها بطريقة أخرى
يمكنني أن أقول كرر العدد 4 عدد صفر من المرات
كيف يمكن أن أكتب 4 صفر من المرات؟
إذن لن أكتب شئ, أليس كذلك؟
لأنني لو كتبت أي شئ
لو كتبت 4 واحدة فيصبح عندي 4 واحدة وأنا ليس عندي أي أربعات
فهذا يقول
هذه 4
دعني أكتب هذا
هذه 4 أصفار
ويمكنني أيضا كتابة عدد صفر من الأربعات
كيف يكون هذا؟
حسنا, سأكتب خانة كبيرة فارغة هنا
هكذا كتبتها
هنا لا يوجد العدد أربعة
إنه فقط خانة كبيرة فارغة
وهذا شئ آخر شيق أن نعرفه
هو أن حاصل ضرب أي عددx صفر = صفر
يمكنني كتابة أي عدد كبير
5493692
x0
ماذا يساوي هذا؟
يساوي صفر
وبالمناسبة
ماهو حاصل ضرب هذا العدد في واحد؟
إنه هو نفس العدد
ماهو حاصل ضرب 0x17؟
مرة اخرى, إنه 0
أعتقد أنني تحدثت كثيرا بما يكفي
أراكم في الدرس المقبل