物理學家
航管員
和電玩遊戲創作者
都至少有個共同點:
「向量」
到底什麼是向量,為何重要呢?
先要了解「純量」才能回答這問題
純量是具有大小的量
告訴我們東西的量有多少
你和長凳間的距離
你杯中飲料的體積和溫度
都以純量來描述
向量也有大小
另外加上「方向」這個信息
要行至你的長凳
需要知道它距離多遠
和位在哪個方向
不只是距離,還有位移
向量特殊且可用於各領域的原因是:
向量不因視角而改變
而是在「座標系」裡維持不變
這意味著什麼?
假設你和朋友一起移動帳篷
你們二人面對面站著
所以你們二人面對不同的方向
你的朋友右移兩步,前進三步
而你左移兩步,後退三步
儘管似乎你們二人的移動不同
事實上,你們移動的方向和距離相同
遵循相同的向量
無論你面向哪個方向
或你的營地落腳於哪個座標系
向量是不變的
我們熟悉的「笛卡爾座標系」
有 x 軸和 y 軸
我們稱這兩個方向為「基礎座標」
被用來描述所有的圖形
假設帳篷從原點被搬至 B 點
則連接原點到 B 點的直箭頭
就是從原點到 B 點的向量
你的朋友可把他想要移動的量
以數學式寫為 2x+3y
或者寫成這樣,稱為「陣列」
因為你面對著反方向
你的基礎座標指向相反的方向
我們稱為 x’ 和 y’
你的移動可以寫為這樣
或這個陣列
若單看兩個陣列,它們顯然不同
但單用陣列不足以完全描述向量
每個陣列都需有基礎座標
來表達前後的關係
在正確地指派表達後
我們會看到實際上
二者描述相同的向量
想像陣列中的元素為個別字母
如同排序的字母
需在特定的語言中才成為詞
陣列也需依循基礎座標
才有了向量的意義
又像在不同的語言中
可用相異的字傳達相同的想法
兩個不同的基礎座標
也可描述相同的向量
向量是溝通的本質
不論以何種語言描述它
原來純量也具有同樣的座標不變特性
其實,所有具有這特性的量
都是「張量」的成員
不同類型的張量含有不同的信息
這豈意味著:
有比向量傳達更多信息的張量?
絕對有
假設你設計一款電玩遊戲
想要真實地模擬水的動作
即使有同方向、同大小的施力
取決於力量的方向
你可能看到波浪或者漩渦
當某一力量、向量
與另一提供方向的向量結合
我們得到稱為「應力」的物理量
這是個「二階」張量的例子
除了電玩遊戲外
這些張量也被用於各種目的
包括科學模擬
汽車設計
和腦成像
純量、向量,和張量
提供我們一個相較簡單的方法
以明瞭複雜的含意,和彼此的互動
因此,它們是數學優雅、俊美
以及具有實用性的好例子