Các nhà vật lý,
người kiểm soát không lưu,
và những người thiết kế game
đều có ít nhất một điểm chung:
các vectơ.
Chính xác chúng là gì, và tại sao chúng lại quan trọng?
Để trả lời, trước hết ta cần hiểu về đại lượng vô hướng.
Đại lượng vô hướng là một con số cụ thể.
Nó cho ta biết giá trị về độ lớn.
Khoảng cách giữa bạn và băng ghế,
thể tích, và nhiệt độ của đồ uống trong cốc của bạn
đều được biểu diễn bởi các đại lượng vô hướng
Các vectơ cũng có giá trị về độ lớn, đi kèm với một giá trị khác,
phương hướng.
Để định hướng băng ghế của bạn,
bạn cần biết nó cách bạn bao xa và ở hướng nào,
không những về khoảng cách nhưng còn về vị trí hoán vị.
Điều khiến các vectơ trở nên đặc biệt và hữu dụng trong mọi lĩnh vực
là chúng không thay đổi theo hướng nhìn
mà vẫn độc lập trong hệ tọa độ.
Điều đó có nghĩa là gì?
Nếu bạn đang di chuyển một chiếc lều cùng với một người.
Đứng đối diện nhau nên hai người sẽ ngược nhau về hướng.
Người kia di chuyển hai bước về bên phải và ba bước lên phía trước
trong khi bạn di chuyển hai bước qua trái và ba bước về phía sau.
Nhưng mặc dù có vẻ như hai người đang di duyển khác nhau,
cả hai đều di chuyển cùng một khoảng cách với cùng một phương hướng
theo cùng một vectơ.
Không quan trọng bạn nhìn hướng nào,
hay hệ tọa độ bạn dùng cho sân trại là gì,
vectơ đều không thay đổi.
Hãy dùng hệ tọa độ Đề-các quen thuộc
với trục x và trục y.
Ta gọi hai hướng này là hai trục tọa độ
vì chúng dùng để miêu tả bất kỳ những gì ta đồ tả.
Giả sử chiếc lều bắt đầu ở gốc tọa độ và kết thúc tại điểm B.
Mũi tên kết nối hai điểm
là vectơ từ gốc tọa độ tới điểm B.
Khi bạn của bạn nghĩ xem nên di chuyển tới đâu,
vị trí đó có thể biểu diễn bằng thuật toán dưới dạng 2x + 3y,
hoặc, như thế này, được gọi là một mảng.
Vì bạn đang nhìn về hướng khác,
trục tọa độ của bạn sẽ chĩa về hai hướng ngược lại,
chúng ta có thể gọi chúng là x phẩy và y phẩy,
và chuyển động của bạn có thể viết dưới dạng này,
hoặc với mảng này.
Nếu ta nhìn vào hai mảng, chúng rõ ràng không giống nhau,
nhưng một mảng riêng nó không thể hoàn toàn biểu diễn một vectơ.
Mỗi mảng cần một gốc để phân định giá trị,
và nếu ta phân định đúng,
ta sẽ thấy rằng chúng thực ra biểu diễn cùng một vectơ.
Hãy hình dung các nguyên tố của một mảng như các ký tự độc lập.
Cũng như khi một dãy các ký tự chỉ trở thành một từ
trong văn cảnh của một ngôn ngữ nào đó,
một mảng chỉ trở thành vectơ khi ta gán cho nó giá trị tọa độ.
Và như các từ trong hai ngôn ngữ khác nhau có thể diễn đạt cùng một ý tưởng,
cách biểu diễn dựa trên hai gốc khác nhau có thể diễn tả cùng một vectơ.
Vectơ là tinh chất của cách thức trao đổi thông tin,
bất kể bạn dùng ngôn ngữ nào.
Có thể nói các đại lượng vô hướng đó cũng có tính chất bất biến.
Thực ra, các đại lượng có tính chất này đều được xếp vào nhóm gọi là tenxơ.
Các loại tenxơ khác nhau truyền đạt khối lượng thông tin khác nhau.
Vậy có nghĩa là có một đại lượng nào đó mang nhiều thông tin hơn vectơ?
Chính xác.
Giả sử bạn đang thiết kế trò chơi,
và bạn muốn mô phỏng thực tế chuyển động của nước.
Thậm chí nếu bạn dùng lực tác động trên cùng một hướng
với cùng một cường độ,
dựa vào cách chúng được sắp xếp, bạn có thể thấy sóng hoặc xoáy nước.
Khi lực, một vectơ, được kết hợp với một vectơ có hướng khác,
ta có một đại lượng vật lý gọi là áp lực,
là một ví dụ cho một tenxơ bậc hai.
Chúng cũng được dùng ngoài lĩnh vực game với nhiều mục đích khác nhau,
gồm có các mô phỏng khoa học,
thiết kế xe hơi,
và mô hình não bộ.
Các mảng, vectơ, và họ tenxơ cho chúng ta một cách diễn đạt đơn giản hơn
làm rõ các ý tưởng và tương tác phức tạp,
và như thế, chúng trở thành ví dụ điển hình cho sự tinh tế, vẻ đẹp
và tính ứng dụng thiết yếu của toán học.