Fizikçiler,
hava trafik kontrol uzmanları
ve bilgisayar oyunu yaratıcıları,
hepsinin ortak bir özelliği var:
Vektörler.
Peki vektörler tam olarak ne ve neden önemliler?
Bu soruyu cevaplamak için önce skalerleri anlamalıyız.
Skaler büyüklüğü olan bir ölçü demek.
Bir şeyden ne kadar olduğunu belirtirler.
Siz ve bir bank arasındaki mesafeyi,
bardağınızın içindeki içeceğin hacmi ve sıcaklığı gibi
ölçümler skalerler aracılığıyla ifade edilir.
Vektörler ise hem büyüklüğü hem de eksta bilgi olan yönü
ifade ederler.
Bankı bulabilmeniz için
hem size olan uzaklığını, hem de yönünü bilmelisiniz;
sadece aranızdaki mesafeyi değil, yer değişimini de.
Vektörleri birçok dalda özel ve kullanışlı kılan özellikleri ise
bakış açısına göre değişmeyip
koordinat sistemine göre sabit kalıyor olmalarıdır.
Peki bu ne demek?
Diyelim ki, arkadaşınızla çadırınızı yerleştiriyorsunuz.
Birbirinize ters tarafta duruyorsunuz, yani ters yönlere bakıyorsunuz.
Arkadaşınız sağa doğru iki adım ve ileriye doğru üç adım atıyor,
siz de sola doğru iki adım, geriye doğru üç adım atıyorsunuz.
Her ne kadar farklı hareket ediyor gibi gözükseniz de
ikiniz de aynı vektörü izleyerek
aynı mesafeyi, aynı yönde gitmiş oluyorsunuz.
Hangi yöne baktığınız
veya yere hangi koordinat sistemini yerleştirdiğiniz fark etmeksizin,
vektör değişmiyor.
Aşina olduğumuz, x ve y eksenli
Kartezyen koordinat sistemini kullanalım.
Bu iki yöne koordinat tabanları diyoruz,
çünkü çizdiğimiz her şeyi göstermek için onları kullanıyoruz.
Diyelim ki çadır başlangıç (0,0) noktasından B noktasına geliyor.
İki noktayı bağlayan düz çizgi
başlangıç noktasından B noktasına kadar bir vektör.
Arkadaşınız nereye gitmesi gerektiğini düşündüğünde,
matematiksel olarak 2x+3y olarak
ya da bu şekilde, bir dizi olarak yazılabilir.
Siz diğer tarafa baktığınız için,
koordinat tabanlarınız ters tarafa bakmakta,
yani x üssü ve y üssü
ve sizin hareketiniz böyle
veya bu şekilde diziyle yazılabilir.
İki diziye baktığımızda, aynı olmadıklarını açıkça görmekteyiz
fakat bir dizi tam olarak bir vektörü ifade etmiyor.
Her biri içerik yansıtabilmeleri için bir tabana ihtiyaç duyar
ve doğru bir şekilde atadığımızda
iki dizenin de aslında aynı vektörü ifade ettiğini görürüz.
Dizedeki unsurları tek tek harfler olarak düşünebilirsiniz.
Nasıl bir dilde belli harf dizilişleri
belli kelimeleri oluşturuyorsa,
bir dizi de koordinat tabanına atandığında bir vektörü ifade ediyor.
Nasıl bir dilde iki farklı kelime aynı düşünceyi ifade ediyorsa,
farklı tabanlarda, farklı gösterimler de aynı vektör olabiliyor.
Vektör ifade etmek için kullanılan dil fark etmeksizin,
verilmesi amaçlanan ana nokta.
Skalerler de vektörler gibi koordinat değişmezliği göstermekte.
Aslında, bu özelliğe sahip tüm birimler tensör adlı bir grubun üyeleri.
Farklı tür tensörler, farklı miktarlarda bilgi içermekte.
Bu vektörlerden daha çok bilgi içeren bir şey olduğu anlamına mı geliyor?
Tabii ki de.
Bilgisayar oyunu tasarlıyorsunuz
ve suyun hareketlerini gerçekçi bir şekilde göstermek istiyorsunuz.
Aynı yönde etki yapan kuvvetler olsa da,
aynı büyüklükte olsalar da,
nasıl yöneltilmiş olduklarına bağlı olarak dalgalar veya burgaçlar oluşur.
Bir vektör olan kuvvet, yöneltme sağlayan bir başka vektörle birleştirildiğinde
fiziksel bir nicelik olan gerilim ortaya çıkıyor.
Gerilim ise ikinci dereceden bir tensör örneği.
Bu tür tensörler bilgisayar oyunları dışında da bilimsel simülasyonlar,
araba tasarımları
ve beyin görüntülemesi gibi
birçok farklı dalda kullanılıyor.
Skalerler, vektörler ve tensör ailesi karışık fikir ve etkileşimleri
anlaşılması daha kolay bir şekilde bizlere sunuyor.
Bu yüzden de incelik ve güzelliğin baş örneklerinden olmalarıyla birlikte,
matematiğin kullanışlılığının başlıca ögeleri.