Fizikçiler,
hava trafik kontrol uzmanları
ve bilgisayar oyunu yaratıcıları,
hepsinin ortak bir özelliği var:
Vektörler.
Peki vektörler tam olarak ne ve
neden önemliler?
Bu soruyu cevaplamak için önce
skalerleri anlamalıyız.
Skaler büyüklüğü olan bir ölçü demek.
Bir şeyden ne kadar
olduğunu belirtirler.
Siz ve bir bank arasındaki mesafeyi,
bardağınızın içindeki içeceğin
hacmi ve sıcaklığı gibi
ölçümler skalerler
aracılığıyla ifade edilir.
Vektörler ise hem büyüklüğü
hem de eksta bilgi olan yönü
ifade ederler.
Bankı bulabilmeniz için
hem size olan uzaklığını,
hem de yönünü bilmelisiniz;
sadece aranızdaki mesafeyi değil,
yer değişimini de.
Vektörleri birçok dalda özel ve
kullanışlı kılan özellikleri ise
bakış açısına göre değişmeyip
koordinat sistemine göre
sabit kalıyor olmalarıdır.
Peki bu ne demek?
Diyelim ki, arkadaşınızla
çadırınızı yerleştiriyorsunuz.
Birbirinize ters tarafta duruyorsunuz,
yani ters yönlere bakıyorsunuz.
Arkadaşınız sağa doğru iki adım ve
ileriye doğru üç adım atıyor,
siz de sola doğru iki adım,
geriye doğru üç adım atıyorsunuz.
Her ne kadar farklı hareket
ediyor gibi gözükseniz de
ikiniz de aynı vektörü izleyerek
aynı mesafeyi, aynı yönde
gitmiş oluyorsunuz.
Hangi yöne baktığınız
veya yere hangi koordinat sistemini
yerleştirdiğiniz fark etmeksizin,
vektör değişmiyor.
Aşina olduğumuz,
x ve y eksenli
Kartezyen koordinat
sistemini kullanalım.
Bu iki yöne koordinat tabanları diyoruz,
çünkü çizdiğimiz her şeyi göstermek
için onları kullanıyoruz.
Diyelim ki çadır başlangıç (0,0)
noktasından B noktasına geliyor.
İki noktayı bağlayan düz çizgi
başlangıç noktasından B
noktasına kadar bir vektör.
Arkadaşınız nereye gitmesi
gerektiğini düşündüğünde,
matematiksel olarak 2x+3y olarak
ya da bu şekilde, bir dizi
olarak yazılabilir.
Siz diğer tarafa baktığınız için,
koordinat tabanlarınız ters
tarafa bakmakta,
yani x üssü ve y üssü
ve sizin hareketiniz böyle
veya bu şekilde diziyle yazılabilir.
İki diziye baktığımızda,
aynı olmadıklarını açıkça görmekteyiz
fakat bir dizi tam olarak bir
vektörü ifade etmiyor.
Her biri içerik yansıtabilmeleri için
bir tabana ihtiyaç duyar
ve doğru bir şekilde atadığımızda
iki dizenin de aslında aynı vektörü
ifade ettiğini görürüz.
Dizedeki unsurları tek tek
harfler olarak düşünebilirsiniz.
Nasıl bir dilde belli harf dizilişleri
belli kelimeleri oluşturuyorsa,
bir dizi de koordinat tabanına atandığında
bir vektörü ifade ediyor.
Nasıl bir dilde iki farklı kelime
aynı düşünceyi ifade ediyorsa,
farklı tabanlarda, farklı gösterimler
de aynı vektör olabiliyor.
Vektör ifade etmek için kullanılan
dil fark etmeksizin,
verilmesi amaçlanan ana nokta.
Skalerler de vektörler gibi
koordinat değişmezliği göstermekte.
Aslında, bu özelliğe sahip tüm birimler
tensör adlı bir grubun üyeleri.
Farklı tür tensörler,
farklı miktarlarda bilgi içermekte.
Bu vektörlerden daha çok bilgi
içeren bir şey olduğu anlamına mı geliyor?
Tabii ki de.
Bilgisayar oyunu tasarlıyorsunuz
ve suyun hareketlerini gerçekçi
bir şekilde göstermek istiyorsunuz.
Aynı yönde etki yapan kuvvetler olsa da,
aynı büyüklükte olsalar da,
nasıl yöneltilmiş olduklarına bağlı
olarak dalgalar veya burgaçlar oluşur.
Bir vektör olan kuvvet, yöneltme sağlayan
bir başka vektörle birleştirildiğinde
fiziksel bir nicelik olan
gerilim ortaya çıkıyor.
Gerilim ise ikinci dereceden
bir tensör örneği.
Bu tür tensörler bilgisayar oyunları
dışında da bilimsel simülasyonlar,
araba tasarımları
ve beyin görüntülemesi gibi
birçok farklı dalda kullanılıyor.
Skalerler, vektörler ve tensör ailesi
karışık fikir ve etkileşimleri
anlaşılması daha kolay bir
şekilde bizlere sunuyor.
Bu yüzden de incelik ve güzelliğin baş
örneklerinden olmalarıyla birlikte,
matematiğin kullanışlılığının
başlıca ögeleri.