Физиков,
авиадиспетчеров
и создателей видеоигр
объединяет по крайней мере одна вещь —
векторы.
Чем они на самом деле являются и почему так важны?
Чтобы дать ответ, нужно прежде всего изучить скаляры.
Скаляр — это показатель, обозначающий величину.
Он показывает нам количество чего-либо.
Расстояние между тобой и скамейкой,
объём и температуру напитка в твоей чашке
можно описать скалярами.
У векторов, кроме величины, есть ещё один показатель —
направление.
Чтобы добраться до скамейки,
вам нужно знать, как далеко и в какой стороне она находится;
не только расстояние, но и её точное положение.
Что делает векторы особенными и полезными во множестве сфер,
так это то, что они не меняются в зависимости от угла зрения,
оставаясь неизменными в любой системе координат.
Что это значит?
Представим, что вы с другом двигаете палатку.
Вы стои́те с разных сторон, глядя в противоположных направлениях.
Ваш друг делает два шага вправо и три вперёд,
в то время как вы — два влево и три назад.
И хотя вы двигаетесь по-разному,
в результате оба переместитесь на то же расстояние в том же направлении,
соответствующими одному вектору.
Неважно, в каком направлении вы смотрите
или какую систему координат размечаете на поле,
вектор не изменится.
Давайте возьмём знакомую нам прямоугольную систему Декарта
с осями Х и Y.
Они называются базисами координат,
потому что используются для описания всего, что мы изобразим.
Представим, что палатка переместилась от начала координат до точки B.
Прямая стрелка, соединяющая эти две точки —
вектор из начала координат в точку B.
Когда ваш друг решает, куда ему двигаться,
математически это может быть записано как 2x + 3y.
Или так — это называется матрицей.
Вы смóтрите в другую сторону,
поэтому ваши базисы указывают в противоположных направлениях,
которые мы можем обозначить как X штрих и Y штрих.
Ваше движение можно записать вот так
или вот этой матрицей.
Если мы посмотрим на них, они, очевидно, не одинаковы,
но матрица сама по себе не полностью описывает вектор.
Векторам необходим базис, чтобы определить их в пространстве.
Когда мы верно располагаем их,
мы видим, что матрицы на самом деле описывают один и тот же вектор.
Можно представить элементы в матрице как отдельные точки.
Но так же, как последовательность букв становится словом
только в контексте определённого языка,
матрица получает значение вектора, когда она находится в системе координат.
И как разные слова в двух языках передают одинаковое значение,
разные изображения из двух базисов могут описывать один вектор.
Вектор — это основная мысль передаваемого,
вне зависимости от языка, используемого для описания.
Скаляры так же неизменны относительно системы координат.
Все величины с этим свойством входят в группу тензоров.
Различные виды тензоров содержат разное количество информации.
Значит ли это, что векторы не дают нам всей информации?
Так и есть.
Предположим, вы создаёте видеоигру
и хотите получить реалистичную модель движения воды.
Даже если силы действуют в одном направлении
и их величина одинакова,
в зависимости от их направленности, получаются волны или вихри.
Когда сила — вектор — объединена с другим вектором, обозначающим направление,
мы получаем физическое явление, именуемое механическим напряжением,
являющееся примером тензора второго порядка.
Кроме видеоигр, тензоры используются для различных целей,
включая научные симуляторы,
дизайн автомобилей
и визуализацию головного мозга.
Скаляры, векторы и семейство тензоров позволяют сравнительно просто
описать замысловатые идеи и взаимодействия,
и потому являются превосходным примером элегантности, красоты
и неоспоримой пользы математики.