Fizycy,
kontrolerzy ruchu lotniczego,
twórcy gier wideo.
Wszyscy mają coś ze sobą wspólnego:
wektory.
Czym one właściwie są i dlaczego mają znaczenie?
Najpierw musimy zająć się skalarem.
Skalar to ilość i rozmiar.
Mówi nam, ile czegoś jest.
Dystans między tobą i ławką,
ilość i temperatura napoju w twoim kubku:
to wszystko opisują skalary.
Liczby wektorowe też mają rozmiar, ale i dodatkową informację:
kierunek.
Żeby dotrzeć do ławki, trzeba wiedzieć,
jak daleko stoi i w którą stronę,
nie tylko dystans, ale i przesunięcie.
Czemu są tak niezwykłe i użyteczne w wielu dziedzinach?
Nie zmieniają się w zależności od punktu widzenia,
pozostają niezmienne w układzie współrzędnych.
Co to oznacza?
Powiedzmy, że przestawiacie z kumplem namiot.
Stoicie po dwóch stronach, twarzą w różne kierunki.
Kolega idzie dwa kroki w prawo i trzy kroki do przodu,
gdy ty idziesz dwa kroki w lewo i trzy kroki do tyłu.
Choć wygląda to, jakbyście różnie się ruszali,
ostatecznie przesuniecie się o ten sam dystans w tą samą stronę,
o ten sam wektor.
Nieważne, w którą stronę patrzycie
czy jaki system współrzędnych umieścicie na terenie obozu,
wektor się nie zmieni.
Użyjmy znanej płaszczyzny kartezjańskiej
z osiami X i Y.
Te dwa kierunki nazywamy bazą współrzędnych,
są bowiem używane do opisania wszystkiego na wykresie.
Powiedzmy, że namiot zaczyna od zera i przemieszcza się aż do punktu B.
Prosta kreska łącząca punkty
to wektor od zera do B.
Gdy kumpel zastanawia się, gdzie ma się przenieść,
może to zapisać matematycznie, jako 2x+3y.
Inny sposób zapisu jest zwany macierzą.
Ponieważ patrzysz w drugą stronę,
twój układ współrzędnych ma osie z przeciwnych stron,
nazwijmy je x prim oraz y prim.
Twój ruch można opisać tak
lub taką macierzą.
Jeśli popatrzymy na dwie macierze, to oczywiście nie są takie same,
jednak sama macierz nie opisuje wektora całkowicie.
Każda potrzebuje podstawy, żeby mieć kontekst.
Gdy poprawnie je przypiszemy,
odkryjemy, że tak naprawdę opisują te same wektory.
Można myśleć o liczbach macierzy jak o indywidualnych liczbach.
Tak jak sekwencja liter staje się słowem
wyłącznie w kontekście konkretnego języka,
macierz nabiera znaczenia jako wektor tylko wpisana w układ współrzędnych.
Tak jak dwa różne słowa w dwóch językach przekazują to samo,
tak różne reprezentacje różnych punktów mogą opisywać ten sam wektor.
Wektor jest esencją tego, co zostało zakomunikowane,
niezależnie od użytego języka.
Okazuje się, że i skalary nie zmieniają współrzędnych.
Wszelkie wartości z taką własnością są członkami grupy zwanej tensorami.
Różne typy tensorów zawierają różną ilość informacji.
Czy to oznacza, że coś zawiera więcej informacji niż wektory?
Oczywiście.
Powiedzmy, że tworzysz grę wideo.
Chcesz realistycznie ukazać zachowanie się wody.
Nawet, gdy siły działają w tę samą stronę
i z tym samym natężeniem,
w zależności od ich orientacji otrzymasz falę albo wiry.
Gdy siła, wektor, zostaje połączona z innym wektorem zawierającym orientację,
otrzymujemy wartość fizyczną zwaną warunkami skrajnymi,
przykład tensora drugiego rzędu.
Takie tensory używane są nie tylko w grach video,
używają ich symulacje naukowe,
projektanci aut
czy badacze obrazowania mózgu.
Rodzina skalarów, wektorów i tensorów daje nam stosunkowo łatwy sposób
na stworzenie czegoś sensownego ze skomplikowanych pomysłów i zależności.
To doskonały przykład elegancji i piękna
oraz podstawowej przydatności matematyki.