물리학자와
항공 교통 관제사
비디오 게임 제작자들은
적어도 한 가지 공통점을 가지고 있습니다.
벡터입니다.
벡터가 정확히 무엇이고 왜 중요할까요?
이 질문에 답을 하기 위해서는 먼저 스칼라가 무엇인지 알아야 합니다.
스칼라는 크기가 있는 물리량입니다.
무언가가 얼마나 있는지 알려줍니다.
여러분과 벤치 사이의 거리도
컵에 든 음료의 부피와 온도도
스칼라로 나타냅니다.
벡터 물리량은 크기에다 추가적인 정보를 하나 더 가집니다.
방향이죠.
벤치로 가기 위해서는
얼마나 멀리 있는지와 어느 방향에 있는지를 알아야 합니다.
거리만이 아니라 변위도 필요하죠.
벡터가 다양한 분야에서 특별하고 유용한 이유는
시각에 따라 변하지 않고
좌표에 불변적으로 남아있기 때문입니다.
이게 무슨 뜻일까요?
여러분이 친구와 텐트를 옮긴다고 가정해 봅시다.
서로 반대쪽에 서서 반대 방향을 바라보고 있겠죠.
친구는 오른쪽으로 두 걸음, 앞으로 세 걸음 가고
여러분은 왼쪽으로 두 걸음, 뒤로 세 걸음 갑니다.
서로 다르게 움직이고 있는 것 같지만
결국 둘 다 같은 거리를 같은 방향으로 움직이는 결과가 나옵니다.
같은 벡터를 따라서요.
어느 방향을 바라보고 있든
캠프장에 어떤 좌표를 그리든
벡터는 변하지 않습니다.
x축과 y축이 있는 우리에게 익숙한
직교 좌표계를 써 봅시다.
우리는 이 x와 y 두 방향을 좌표 기저라고 부릅니다.
우리가 그래프로 그리는 모든 것을 나타내는 데 쓰이기 때문이죠.
텐트가 원점에서 출발하여 B점으로 이동한다고 가정해 봅시다.
두 점을 연결하는 직선이
원점에서 B까지의 벡터입니다.
친구가 어디로 움직여야 하는지를
수학적으로 2x+3y로 나타낼 수 있습니다.
아니면 이렇게 배열로 나타낼 수 있습니다.
여러분은 다른 방향을 바라보고 있기에
좌표 기저점이 반대 방향입니다.
x 다시와 y 다시라고 부를 수 있죠.
여러분의 움직임은 이렇게 나타내거나
이런 배열로 나타낼 수 있습니다.
두 배열을 보면, 보시다시피 서로 다릅니다.
하지만 배열 하나가 벡터를 완전히 표현하지는 못합니다.
각 배열은 맥락을 갖기 위해서 기저가 필요합니다.
기저를 올바르게 부여하면
두 배열이 같은 벡터를 나타내고 있는 것을 볼 수 있습니다.
배열의 각 변수들을 개별적인 글자라고 생각하면 됩니다.
글자의 순열이 특정 언의 맥락 안에서만
단어가 되는 것처럼,
배열은 좌표 기저가 주어질 때 벡터로서의 의미를 갖게 됩니다.
두 언어의 다른 단어들이 같은 개념을 의미할 수 있는 것처럼
두 기저의 다른 식도 같은 벡터를 나타낼 수 있습니다.
벡터는 소통되는 내용의 본질이며
이를 표현하기 위해 사용하는 언어와 상관 없습니다.
스칼라도 좌표 불변성을 지니고 있습니다.
사실, 이 성질을 가진 모든 물리량은 텐서라는 집단에 포함됩니다.
다양한 종류의 텐서는 다른 양의 정보를 갖고 있습니다.
그렇다면 벡터보다 더 많은 정보를 전달할 수 있는 게 있는 걸까요?
물론입니다.
비디오 게임을 설계하는데
물이 움직이는 모습을 현실적으로 담으려 한다고 가정해 봅시다.
같은 방향과 규모로 작용하는
힘이 있더라도
어떻게 모여있는지에 따라 파도나 소용돌이가 생깁니다.
벡터인 힘이 방향을 부여하는 다른 벡터와 결합되면
응력이라는 물리량이 생기며, 2차 텐서의 사례인
이는 2차 텐서의 예입니다.
이 텐서들은 비디오 게임 외에도 다양한 용도로 쓰입니다.
과학 모의실험이나
자동차 디자인
뇌 영상 촬영같은 곳에요.
스칼라와, 벡터, 그리고 텐서 가족은 복잡한 개념과 상호작용을
이해하는 데에 비교적 간단한 방법을 제공해 줍니다.
그렇기 때문에 수학의 우아함과 아름다움
그리고 근본적인 유용함의 아주 좋은 예가 됩니다.