WEBVTT

00:00:07.261 --> 00:00:08.131
物理学者

00:00:08.131 --> 00:00:09.562
航空管制官

00:00:09.562 --> 00:00:11.222
テレビゲームのクリエイター

00:00:11.222 --> 00:00:14.461
この人達には共通点が
少なくともひとつあります

00:00:14.461 --> 00:00:15.752
ベクトルです

00:00:15.752 --> 00:00:19.092
これは一体何であり
どうして重要なのでしょうか？

00:00:19.092 --> 00:00:23.273
それには まずスカラーを
理解する必要があります

00:00:23.273 --> 00:00:26.161
スカラーは大きさのある量です

00:00:26.161 --> 00:00:29.212
これでそこにある物の量が分かります

00:00:29.212 --> 00:00:31.392
あなたとベンチの間の距離

00:00:31.392 --> 00:00:34.722
カップの中の飲み物の体積や温度

00:00:34.722 --> 00:00:37.642
これらは どれもスカラーで
表すことができます

00:00:37.642 --> 00:00:42.983
ベクトルにも大きさがありますが
さらにもう１つ情報が加わります

00:00:42.983 --> 00:00:44.459
方向です

00:00:44.459 --> 00:00:45.972
ベンチに誘導しようとすると

00:00:45.972 --> 00:00:49.953
その距離と方向を
知る必要があります

00:00:49.953 --> 00:00:53.163
距離だけでなく
その相対的な位置関係も必要だからです

00:00:53.163 --> 00:00:56.853
ベクトルを特別なものにし
様々な分野で有用としているのは

00:00:56.853 --> 00:00:59.852
視点によって変わることがなく

00:00:59.852 --> 00:01:03.342
座標系に対しても
不変であるからです

00:01:03.342 --> 00:01:04.763
これはどういう意味でしょうか？

00:01:04.763 --> 00:01:07.535
例えば 友達と一緒に
テントを移動しているとします

00:01:07.535 --> 00:01:11.634
あなたは反対側に立って
お互いに向き合っているわけです

00:01:11.634 --> 00:01:15.845
友達は右側に２歩動いてから
３歩前進しますが

00:01:15.845 --> 00:01:19.454
あなたは左側に２歩動いてから
３歩後退します

00:01:19.454 --> 00:01:22.223
別の動きをしているように見えたとしても

00:01:22.223 --> 00:01:25.785
同じベクトルに従って

00:01:25.785 --> 00:01:28.414
同じ方向に同じ距離
進んだわけです

00:01:28.414 --> 00:01:30.294
どの方向を向いていたとしても

00:01:30.294 --> 00:01:33.284
キャンプ場でどんな座標系を
使用したとしても

00:01:33.284 --> 00:01:35.635
ベクトルが変わることはありません

00:01:35.635 --> 00:01:38.168
x座標と y座標がある
おなじみの直交座標系を

00:01:38.168 --> 00:01:40.774
使ってみましょう

00:01:40.774 --> 00:01:43.794
この２つの方向を基底ベクトルと
呼んでいます

00:01:43.794 --> 00:01:46.974
それは グラフ上の全ての点を
表すのに使うことができるからです

00:01:46.974 --> 00:01:51.765
テントを原点からB点まで
移動するとしましょう

00:01:51.765 --> 00:01:54.005
２点をつなぐ真っ直ぐな矢印は

00:01:54.005 --> 00:01:56.994
原点からB点までのベクトルです

00:01:56.994 --> 00:01:59.506
友達が移動しようとする時

00:01:59.506 --> 00:02:03.847
これを数学では
2x + 3yと表記したり

00:02:03.847 --> 00:02:07.213
この様に配列というもので
表記します

00:02:07.213 --> 00:02:08.856
あなたは反対向きなので

00:02:08.856 --> 00:02:12.476
基底ベクトルは
反対の方向を向いていますが

00:02:12.476 --> 00:02:15.371
これらを x' およびy' とすると

00:02:15.371 --> 00:02:18.975
あなたの動きは
このように表したり

00:02:18.975 --> 00:02:21.725
このような配列で表すことができます

00:02:21.725 --> 00:02:25.150
この２つの配列を見てみると
明らかに異なりますが

00:02:25.150 --> 00:02:29.635
この配列自体がベクトルを完全に
表しているわけではありません

00:02:29.635 --> 00:02:32.646
各配列を定めるには
基底ベクトルが必要で

00:02:32.646 --> 00:02:34.397
適切なものを割り当ててやると

00:02:34.397 --> 00:02:38.465
実は同じベクトルを
記述していることが分かります

00:02:38.465 --> 00:02:41.656
この配列の要素を個々の数字だと
みなすことができます

00:02:41.656 --> 00:02:44.715
特定の言語の文脈では

00:02:44.715 --> 00:02:47.595
文字の列が語になるように

00:02:47.595 --> 00:02:52.966
配列は基底ベクトルを指定すると
ベクトルとしての意味を持つようになります

00:02:52.966 --> 00:02:57.246
２つの言語の異なる語が
同じ概念をもたらすように

00:02:57.246 --> 00:03:01.785
２つの基底ベクトルの異なる配列表現が
同じベクトルを記述し得るのです

00:03:01.785 --> 00:03:05.326
ベクトルは記述する言語によらず

00:03:05.326 --> 00:03:08.176
コミュニケーションの中身の
本質を伝えます

00:03:08.176 --> 00:03:12.528
スカラーもまた座標系に対し
不変である性質を持っています

00:03:12.528 --> 00:03:18.048
実際この性質を持つ量は
テンソルと呼ばれるものの一種です

00:03:18.048 --> 00:03:22.637
様々なタイプのテンソルがあり
それぞれが異なる量の情報を含んでいます

00:03:22.637 --> 00:03:26.659
ベクトルより多くの情報量を伝え得る
何かがあるということでしょうか？

00:03:26.659 --> 00:03:28.267
その通りです

00:03:28.267 --> 00:03:29.897
例えば TVゲームを設計中に

00:03:29.897 --> 00:03:33.648
リアルな水の動きを表すモデルが
欲しいとしましょう

00:03:33.648 --> 00:03:36.558
たとえ 同じ方向に

00:03:36.558 --> 00:03:38.187
同じ大きさで力を加えたとしても

00:03:38.187 --> 00:03:42.908
その水の向きによって波になったり
渦になったりします

00:03:42.908 --> 00:03:47.720
ベクトルである力が
方向性を与える他のベクトルと結びつくと

00:03:47.720 --> 00:03:50.917
応力という物理的な量が得られます

00:03:50.917 --> 00:03:54.479
これが２階のテンソルの一例です

00:03:54.479 --> 00:03:59.729
これらのテンソルは テレビゲームだけでなく
あらゆる目的 ―

00:03:59.729 --> 00:04:01.498
科学的なシミュレーション

00:04:01.498 --> 00:04:02.818
カーデザイン

00:04:02.818 --> 00:04:04.488
脳撮像も含まれます

00:04:04.488 --> 00:04:09.149
スカラーにベクターそしてテンソルは
比較的シンプルな方法で

00:04:09.149 --> 00:04:12.837
複雑な概念や相互作用を
表すことができるので

00:04:12.837 --> 00:04:16.868
それ自体が数学の
優美さ、美しさ そして―

00:04:16.868 --> 00:04:20.011
根本的な有用性を示す
好例となっているのです