A fizikusokat,
a légi irányítókat
és a videojáték-tervezőket
legalább egyvalami összeköti:
a vektorok.
Pontosan mik ezek, és miért fontosak?
A válaszhoz előbb meg kell értenünk,
mik azok a skalárok.
A skalár valaminek a mennyisége,
és azt mondja meg,
hogy valamiből mennyi van.
Távolságod egy padtól,
a csészédben lévő ital
térfogata és hőmérséklete
mind-mind skalár.
A vektormennyiségeknek is van nagyságuk,
de ezenkívül plusz infót is tartalmaznak:
az irányt.
Hogy eljuss a padhoz, tudnod kell,
milyen messze és milyen irányban van,
nemcsak a távolságot,
hanem az elmozdulást is.
A vektorok attól különlegesek
és hasznosak minden területen,
hogy a perspektívában nem változnak,
invariánsak a koordinátarendszerben.
Mit jelent ez?
Mondjuk, a barátoddal
arrébb viszed a sátradat.
Te az ellenkező oldalon állsz,
tehát ellenkező irányba néztek.
Barátod két lépést tesz jobbra
és három lépést előre,
miközben te két lépést balra
és három lépést hátra.
Noha úgy látszik, mintha
különbözőképpen mozognátok,
de mindketten azonos távolságot tesztek
meg, és azonos irányban mozogtok
ugyanazon vektor mentén.
Nem számít, melyik irányba nézel,
vagy milyen koordinátarendszert
helyezel el a kempingterületen,
a vektor nem változik.
Használjuk az ismerős Descartes-féle
koordinátarendszert,
annak az x és y tengelyeit.
E két irányt koordinátabázisnak hívjuk,
mert minden ábrázolt mennyiség
leírására használjuk őket.
Mondjuk, a sátor kezdőpontja
az origóban van, és a B pontig tart.
A két pontot összekötő egyenes nyíl
az origót és a B pontot köti össze.
Amikor a barátod arra gondol,
merre kell elmozdulnia,
matematikailag ez így írható föl:
2x + 3y,
vagy így, ezt mátrixnak nevezzük.
Mivel az ellenkező irányba nézel,
a koordinátarendszered
az ellenkező irányba mutat,
ezt x'-nek, azaz x vesszőnek
és y'-nek, azaz y vesszőnek hívjuk.
Mozgásod így írható föl:
vagy ezzel a mátrixszal.
A két mátrix láthatólag nem egyforma,
de egy mátrix egyedül nem
teljesen adja meg a vektort.
Az értelmezéshez mindnek
kezdőpontra van szüksége,
és ha egy irányba helyezzük őket,
látható, hogy ezek tényleg
ugyanazt a vektort adják meg.
A mátrix elemeit
betűknek is fölfoghatjuk.
Mint ahogy betűk kombinációjából
csak konkrét nyelv esetén
képződnek szavak,
a mátrix akkor kap értelmet mint vektor,
ha koordinátarendszerben van.
Mint ahogy két nyelvben más-más szóval
fejezhetjük ki ugyanazt a fogalmat,
két rendszerben a más-más ábrázolás
adhatja ugyanazt a vektort.
A vektor a lényege annak, amit közlünk,
függetlenül a megadására
használt nyelvtől.
A skalárok is invariánsak arra, hogy mely
koordinátarendszerben vannak megadva.
Az ilyen tulajdonságú mennyiségek
a tenzor nevű csoport tagjai.
A különböző tenzorfajták más-más
mennyiségű információt tartalmaznak.
Ez azt jelenti, hogy több információt
hordoznak, mint a vektorok?
Pontosan azt.
Mondjuk, videojátékot tervezel,
és valósághűen akarod
modellezni a víz viselkedését.
Még ha azonos vonalon ható,
azonos nagyságú erőkkel
van is dolgunk,
az irányuktól függően hullámokat
vagy örvénylést láthatunk.
Amikor az erőt, egy vektort, egy irányt
megadó másik vektorral kombináljuk,
a mechanikai feszültség nevű
fizikai mennyiséghez jutunk,
amely példa a másodrendű tenzorra.
Ezek a tenzorok a videojátékokon kívül
rengeteg célra használatosak,
beleértve a tudományos szimulációkat,
a gépkocsitervezést
és a képalkotást az agyról.
A skalárok, a vektorok és a tenzorcsalád
viszonylag egyszerű eszközei annak,
hogy megérthessük az összetett
fogalmakat és kölcsönhatásokat,
és így ékes példái a matematika
eleganciájának, szépségének
és alapvető hasznosságának.