A fizikusokat,
a légi irányítókat
és a videojáték-tervezőket
legalább egyvalami összeköti:
a vektorok.
Pontosan mik ezek, és miért fontosak?
A válaszhoz előbb meg kell értenünk, mik azok a skalárok.
A skalár valaminek a mennyisége,
és azt mondja meg, hogy valamiből mennyi van.
Távolságod egy padtól,
a csészédben lévő ital térfogata és hőmérséklete
mind-mind skalár.
A vektormennyiségeknek is van nagyságuk, de ezenkívül plusz infót is tartalmaznak:
az irányt.
Hogy eljuss a padhoz, tudnod kell,
milyen messze és milyen irányban van,
nemcsak a távolságot, hanem az elmozdulást is.
A vektorok attól különlegesek és hasznosak minden területen,
hogy a perspektívában nem változnak,
invariánsak a koordinátarendszerben.
Mit jelent ez?
Mondjuk, a barátoddal arrébb viszed a sátradat.
Te az ellenkező oldalon állsz, tehát ellenkező irányba néztek.
Barátod két lépést tesz jobbra és három lépést előre,
miközben te két lépést balra és három lépést hátra.
Noha úgy látszik, mintha különbözőképpen mozognátok,
de mindketten azonos távolságot tesztek meg, és azonos irányban mozogtok
ugyanazon vektor mentén.
Nem számít, melyik irányba nézel,
vagy milyen koordinátarendszert helyezel el a kempingterületen,
a vektor nem változik.
Használjuk az ismerős Descartes-féle koordinátarendszert,
annak az x és y tengelyeit.
E két irányt koordinátabázisnak hívjuk,
mert minden ábrázolt mennyiség leírására használjuk őket.
Mondjuk, a sátor kezdőpontja az origóban van, és a B pontig tart.
A két pontot összekötő egyenes nyíl
az origót és a B pontot köti össze.
Amikor a barátod arra gondol, merre kell elmozdulnia,
matematikailag ez így írható föl: 2x + 3y,
vagy így, ezt mátrixnak nevezzük.
Mivel az ellenkező irányba nézel,
a koordinátarendszered az ellenkező irányba mutat,
ezt x'-nek, azaz x vesszőnek és y'-nek, azaz y vesszőnek hívjuk.
Mozgásod így írható föl:
vagy ezzel a mátrixszal.
A két mátrix láthatólag nem egyforma,
de egy mátrix egyedül nem teljesen adja meg a vektort.
Az értelmezéshez mindnek kezdőpontra van szüksége,
és ha egy irányba helyezzük őket,
látható, hogy ezek tényleg ugyanazt a vektort adják meg.
A mátrix elemeit betűknek is fölfoghatjuk.
Mint ahogy betűk kombinációjából
csak konkrét nyelv esetén képződnek szavak,
a mátrix akkor kap értelmet mint vektor, ha koordinátarendszerben van.
Mint ahogy két nyelvben más-más szóval fejezhetjük ki ugyanazt a fogalmat,
két rendszerben a más-más ábrázolás adhatja ugyanazt a vektort.
A vektor a lényege annak, amit közlünk,
függetlenül a megadására használt nyelvtől.
A skalárok is invariánsak arra, hogy mely koordinátarendszerben vannak megadva.
Az ilyen tulajdonságú mennyiségek a tenzor nevű csoport tagjai.
A különböző tenzorfajták más-más mennyiségű információt tartalmaznak.
Ez azt jelenti, hogy több információt hordoznak, mint a vektorok?
Pontosan azt.
Mondjuk, videojátékot tervezel,
és valósághűen akarod modellezni a víz viselkedését.
Még ha azonos vonalon ható,
azonos nagyságú erőkkel van is dolgunk,
az irányuktól függően hullámokat vagy örvénylést láthatunk.
Amikor az erőt, egy vektort, egy irányt megadó másik vektorral kombináljuk,
a mechanikai feszültség nevű fizikai mennyiséghez jutunk,
amely példa a másodrendű tenzorra.
Ezek a tenzorok a videojátékokon kívül rengeteg célra használatosak,
beleértve a tudományos szimulációkat,
a gépkocsitervezést
és a képalkotást az agyról.
A skalárok, a vektorok és a tenzorcsalád viszonylag egyszerű eszközei annak,
hogy megérthessük az összetett fogalmakat és kölcsönhatásokat,
és így ékes példái a matematika eleganciájának, szépségének
és alapvető hasznosságának.