Fizičari,

kontrolori leta

i dizajneri video igara

imaju barem jednu stvar zajedničku:

vektore.

Što su točno vektori
i zašto su važni?

Da bi odgovorili,
prvo moramo razumjeti skalare.

Skalar je veličina s duljinom.

Govori nam koliko nečeg ima.

Udaljenost između vas i klupe,

i volumen i temperatura
napitka u vašoj šalici

opisani su skalarima.

Vektorske veličine također imaju iznos
ali i dodatni element,

smjer.

Da bi došli do svoje klupe,

morate znati koliko je udaljena
i u kojem smjeru,

ne samo njezinu udaljenost
već i položaj.

Ono što vektore čini posebnima
i korisnima u mnogim područjima

jest to da se ne mijenjaju
s obzirom na gledište

već ostaju invarijantni
s obzirom na koordinatni sustav.

Što to znači?

Recimo da vi i prijatelj
premještate šator.

Stojite na suprotnim stranama
pa gledate u suprotnim smjerovima.

Vaš prijatelj pomiče se dva koraka desno
i tri koraka naprijed

dok se vi mičete dva koraka lijevo
i tri koraka natrag.

Ali iako se čini
da ste se pomaknuli drukčije,

na kraju ste se pomaknuli
za istu udaljenost u istom smjeru

prateći isti vektor.

Bez obzira u kojem smjeru gledate,

ili kakav koordinatni sustav postavite
na tlo kampa,

vektor se ne mijenja.

Koristit ćemo poznati nam
Kartezijev koordinatni sustav

s x i y osi.

Ova dva smjera zovemo
vektori baze.

jer pomoću njih opisujemo
sve što ćemo prikazati grafom.

Neka šator počinje u ishodištu
i završava ovdje u točki B.

Ravna strelica koja povezuje
dvije točke

je vektor iz ishodišta prema B.

Kada vaš prijatelj određuje
gdje se mora pomaknuti,

to se matematičkim jezikom
može zapisati kao 2x+3y,

ili ovako, kao uređeni par.

S obzirom da vi gledate u drugom smjeru,

vaša baza
je u suprotnom smjeru,

što možemo nazvati
x i y baze,

a tvoj pomak može se
zapisati ovako,

ili pomoću ovog uređenog para.

Ako pogledamo ova dva uređena para
vidimo da očito nisu jednaki,

ali sam uređeni par nije dovoljan 
da bi se odredio vektor.

Da bi se dobio kontekst, potrebne su baze,

a kad ih dodijelimo,

vidimo da one zapravo
opisuju isto vektor.

Elemente uređenog para možete zamisliti 
kao pojedinačna slova.

Niz slova postaje riječ

tek u kontekstu određenog jezika,

isto tako uređeni par opisuje neki vektor
tek kad mu se dodijeli baza.

Različite riječi u dva jezika
mogu opisivati istu ideju,

isto tako prikazi u dvije različite baze
mogu opisivati isti vektor.

Vektor je osnova
onoga što se prenosi,

bez obzira na jezik
pomoću kojeg se opisuje.

Skalari također imaju svojstvo
invarijantnosti s obzirom na koordinate.

Zapravo, sve veličine s ovim svojstvom
pripadaju grupi tenzora.

Različite vrste tenzora
sadrže različit broj informacija.

Znači li to da postoji nešto
što prenosi više informacija od vektora?

Naravno.

Recimo da dizajnirate video igru,

i želite realistično modelirati
ponašanje vode.

Čak i ako imate sile
koje djeluju u istom smjeru

i istog su iznosa,

ovisno o tome kako su usmjerene,
pojavljuju se ili valovi ili vrtlozi.

Kad se stlači, vektor se kombinira 
s drugim vektorom koji određuje orijentaciju,

pa imamo fizikalnu veličinu
koja se zove naprezanje,

što je primjer
tenzora drugog reda.

Ovi tenzori koriste se i izvan područja 
video igara za različite svrhe,

uključujući znanstvene simulacije,

dizajniranje automobila,

i mapiranje mozga.

Skalari, vektori i familija tenzora
na razmjerno jednostavan način

objašnjavaju složene ideje
i međudjelovanja,

i kao takvi, oni su lijep primjer
elegancije, ljepote

i temeljne korisnosti matematike.