Fizičari,
kontrolori leta
i dizajneri video igara
imaju barem jednu stvar zajedničku:
vektore.
Što su točno vektori i zašto su važni?
Da bi odgovorili, prvo moramo razumjeti skalare.
Skalar je veličina s duljinom.
Govori nam koliko nečeg ima.
Udaljenost između vas i klupe,
i volumen i temperatura napitka u vašoj šalici
opisani su skalarima.
Vektorske veličine također imaju iznos ali i dodatni element,
smjer.
Da bi došli do svoje klupe,
morate znati koliko je udaljena i u kojem smjeru,
ne samo njezinu udaljenost već i položaj.
Ono što vektore čini posebnima i korisnima u mnogim područjima
jest to da se ne mijenjaju s obzirom na gledište
već ostaju invarijantni s obzirom na koordinatni sustav.
Što to znači?
Recimo da vi i prijatelj premještate šator.
Stojite na suprotnim stranama pa gledate u suprotnim smjerovima.
Vaš prijatelj pomiče se dva koraka desno i tri koraka naprijed
dok se vi mičete dva koraka lijevo i tri koraka natrag.
Ali iako se čini da ste se pomaknuli drukčije,
na kraju ste se pomaknuli za istu udaljenost u istom smjeru
prateći isti vektor.
Bez obzira u kojem smjeru gledate,
ili kakav koordinatni sustav postavite na tlo kampa,
vektor se ne mijenja.
Koristit ćemo poznati nam Kartezijev koordinatni sustav
s x i y osi.
Ova dva smjera zovemo vektori baze.
jer pomoću njih opisujemo sve što ćemo prikazati grafom.
Neka šator počinje u ishodištu i završava ovdje u točki B.
Ravna strelica koja povezuje dvije točke
je vektor iz ishodišta prema B.
Kada vaš prijatelj određuje gdje se mora pomaknuti,
to se matematičkim jezikom može zapisati kao 2x+3y,
ili ovako, kao uređeni par.
S obzirom da vi gledate u drugom smjeru,
vaša baza je u suprotnom smjeru,
što možemo nazvati x i y baze,
a tvoj pomak može se zapisati ovako,
ili pomoću ovog uređenog para.
Ako pogledamo ova dva uređena para vidimo da očito nisu jednaki,
ali sam uređeni par nije dovoljan da bi se odredio vektor.
Da bi se dobio kontekst, potrebne su baze,
a kad ih dodijelimo,
vidimo da one zapravo opisuju isto vektor.
Elemente uređenog para možete zamisliti kao pojedinačna slova.
Niz slova postaje riječ
tek u kontekstu određenog jezika,
isto tako uređeni par opisuje neki vektor tek kad mu se dodijeli baza.
Različite riječi u dva jezika mogu opisivati istu ideju,
isto tako prikazi u dvije različite baze mogu opisivati isti vektor.
Vektor je osnova onoga što se prenosi,
bez obzira na jezik pomoću kojeg se opisuje.
Skalari također imaju svojstvo invarijantnosti s obzirom na koordinate.
Zapravo, sve veličine s ovim svojstvom pripadaju grupi tenzora.
Različite vrste tenzora sadrže različit broj informacija.
Znači li to da postoji nešto što prenosi više informacija od vektora?
Naravno.
Recimo da dizajnirate video igru,
i želite realistično modelirati ponašanje vode.
Čak i ako imate sile koje djeluju u istom smjeru
i istog su iznosa,
ovisno o tome kako su usmjerene, pojavljuju se ili valovi ili vrtlozi.
Kad se stlači, vektor se kombinira s drugim vektorom koji određuje orijentaciju,
pa imamo fizikalnu veličinu koja se zove naprezanje,
što je primjer tenzora drugog reda.
Ovi tenzori koriste se i izvan područja video igara za različite svrhe,
uključujući znanstvene simulacije,
dizajniranje automobila,
i mapiranje mozga.
Skalari, vektori i familija tenzora na razmjerno jednostavan način
objašnjavaju složene ideje i međudjelovanja,
i kao takvi, oni su lijep primjer elegancije, ljepote
i temeljne korisnosti matematike.