לפיסיקאים,
פקחי טיסה,
ומעצבי משחקי וידאו,
יש לפחות מכנה משותף אחד:
וקטורים.
מה הם בעצם, ולמה הם חשובים?
כדי לענות על כך, עלינו להבין ראשית מהו סקלר.
סקלר הוא רכיב בעל גודל בלבד.
הוא אומר לנו מהי הכמות.
המרחק בינכם לספסל,
הנפח והטמפרטורה של המשקה בכוסכם,
כל אלה מתוארים בעזרת סקלרים.
לוקטור גם יש גודל אך יש לו גם פיסת מידע נוספת,
כיוון.
כדי להגיע לספסל,
יש לדעת כמה הוא רחוק ובאיזה כיוון צריך לנוע,
לא רק המרחק, אלא ההעתק.
מה שעושה וקטור לכל כך יחודי ושימושי בתחומים שונים
הוא שהוא אינו תלוי בנקודת המבט.
הוא נשאר קבוע תחת מערכות ייחוס שונות.
למה הכוונה?
נניח שאתם וחברכם מזיזים את האוהל שלכם.
אתם עומדים בקצות שונים של האוהל ופניכם מועדות לכיוונים שונים.
חברכם זז שני צעדים ימינה ושלושה צעדים קדימה
בזמן שאתם זזים שני צעדים שמאלה ושלושה צעדים אחורה.
אך אפילו אם נראה שאתם זזים בכיוון שונה,
יוצא שכולכם זזים אותו מרחק באותו כיוון
על פי אותו וקטור.
ולא משנה לאן מועדות פניכם,
או באיזו מערכת צירים השתמשתם,
הוקטור נשאר זהה.
בואו נשתמש במערכת הצירים הקרטזית
עם צירי ה-x וה-y שלה.
אנחנו קוראים לכיוונים אלו וקטורי היחידה הבסיסיים
משום שהם משמשים אותנו לתיאור של כל דבר על הגרף.
נניח שהאוהל מתחיל בראשית הצירים ומסתיים פה בנקודה B.
החץ המחבר בין שתי הנקודות
הוא הוקטור מראשית הצירים לנקודה B.
כשחברכם חושב לאן עליו לנוע,
הוא יכול לתאר זאת בצורה מתמטית על ידי 2x+3y.
או באופן כזה, בעזרת מערך.
מכיוון שפניכם מועדות לכיוון ההפוך,
וקטורי היחידה שלכם מצביעים לכיוון הנגדי,
שניתן לקרוא לו 'x ו-'y,
וכיוון התנועה שלכם יכול לתואר כך,
או בעזרת מערך זה.
אם נסתכל על שני המערכים, הם בברור אינם זהים,
אבל מערך כשלעצמו אינו מתאר וקטור בשלמותו.
לכל אחד מהמערכים נדרשים וקטורי יחידה בסיסיים,
וכאשר אלו מוצמדים אליהם,
ניתן לראות שהם אכן מתארים את אותו וקטור.
אתם יכולים לחשוב על איברים במערך כאותיות בודדות.
בדיוק כמו שלמילה עם משמעות בשפה מסויימת
נדרש רצף מסויים של אותיות,
כך למערך נדרשים וקטורי יחידה בסיסיים על מנת שתהיה לו משמעות כוקטור.
ובדיוק כמו ששתי מילים בשפות שונות יכולות להעביר את אותו רעיון,
כך מערכות צירים שונות יכולות לתאר את אותו וקטור.
הוקטור הוא מהות המסר,
ללא חשיבות לשפה שבה מדברים.
מסתבר, שגם סקלרים חולקים את תכונת האינווריאנטיות הזו.
למעשה, כל רכיב שחולק את תכונה זו הוא חבר בקבוצת הטנזורים.
טנזורים שונים מכילים כמויות מידע שונות.
האם זה אומר שקיים רכיב שמכיל יותר מידע מוקטור?
בודאי.
נניח שאתם מעצבים משחק וידאו,
ואתם רוצים ליצור מודל מציאותי של מים.
אפילו אם יש לכם כוחות הפועלים באותו כיוון
בעלי אותו גודל.
הדרך בה הם מסודרים במרחב, תקבע אם יתקבלו גלים או מערבולות.
כשכוח, וקטור כשלעצמו, חובר לוקטור המתאר סידור מרחבי
מתקבל מונח פיסיקלי הקרוי בשם מאמץ.
שהוא דוגמא לטנזור ממעלה שנייה.
טנזורים שכאלו הם שימושיים גם מחוץ לתחום משחקי הוידאו למטרות שונות,
הכוללות בין השאר סימולציות מדעיות,
עיצוב כלי רכב,
והדמיות מוחיות.
סקלרים, וקטורים ומשפחת הטנזורים מספקים לנו דרך פשוטה למדי
להבנת רעיונות ויחסי גומלין מורכבים,
ובכך הם מהווים דוגמא מצויינת לאלגנטיות, ליופי
ולתועלת החשובה שבמתמטיקה.