WEBVTT 00:00:07.261 --> 00:00:08.131 Οι φυσικοί, 00:00:08.131 --> 00:00:09.562 οι ελεγκτές εναέριας πτήσης 00:00:09.562 --> 00:00:11.222 και οι δημιουργοί βιντεοπαιχνιδιών 00:00:11.222 --> 00:00:14.461 έχουν τουλάχιστον ένα κοινό: 00:00:14.461 --> 00:00:15.752 τα διανύσματα. 00:00:15.752 --> 00:00:18.922 Τι ακριβώς είναι αυτά και γιατί είναι σημαντικά; 00:00:19.092 --> 00:00:22.953 Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τους βαθμωτούς. 00:00:23.273 --> 00:00:25.831 Ένας βαθμωτός είναι μια ποσότητα με πλάτος. 00:00:26.161 --> 00:00:28.982 Μας λέει πόσο πολύ υπάρχει από κάτι. 00:00:29.212 --> 00:00:31.272 Η απόστασή σας από έναν πάγκο 00:00:31.272 --> 00:00:34.602 και ο όγκος και η θερμοκρασία του αναψυκτικού στο ποτήρι σας 00:00:34.602 --> 00:00:37.032 περιγράφονται από βαθμωτούς. 00:00:37.642 --> 00:00:42.983 Οι διανυσματικές ποσότητες έχουν επίσης πλάτος συν ακόμα μία πληροφορία, 00:00:42.983 --> 00:00:44.269 την κατεύθυνση. 00:00:44.389 --> 00:00:46.312 Για να κατευθυνθείτε προς τον πάγκο σας 00:00:46.312 --> 00:00:49.483 πρέπει να γνωρίζετε πόσο μακριά βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση· 00:00:49.573 --> 00:00:52.783 όχι μόνο την απόσταση, αλλά τη μετατόπιση. 00:00:53.163 --> 00:00:56.853 Αυτό που κάνει τα διανύσματα ιδιαίτερα και χρήσιμα σε τόσα πεδία 00:00:56.853 --> 00:00:59.852 είναι ότι δεν αλλάζουν με βάση την προοπτική, 00:00:59.852 --> 00:01:03.022 αλλά παραμένουν αναλλοίωτα ως προς το σύστημα συντεταγμένων. 00:01:03.342 --> 00:01:04.323 Τι σημαίνει αυτό; 00:01:04.513 --> 00:01:07.515 Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας, μετακινείτε τη σκηνή σας. 00:01:07.535 --> 00:01:11.414 Στέκεστε σε αντίθετες πλευρές, άρα κοιτάτε σε αντίθετες κατευθύνσεις. 00:01:11.634 --> 00:01:15.135 Ο φίλος σας κινείται δύο βήματα προς τα δεξιά και τρία βήματα μπροστά 00:01:15.135 --> 00:01:18.994 ενώ εσείς κινείστε δύο βήματα προς τα αριστερά και τρία βήματα πίσω. 00:01:19.454 --> 00:01:22.223 Αλλά παρά το ότι φαίνεται σαν να κινείστε διαφορετικά, 00:01:22.223 --> 00:01:26.085 και οι δύο καταλήγετε να έχετε μετακινηθεί την ίδια απόσταση στην ίδια κατεύθυνση, 00:01:26.085 --> 00:01:28.054 ακολουθώντας το ίδιο διάνυσμα. 00:01:28.414 --> 00:01:30.114 Ανεξάρτητα από το πού βλέπετε 00:01:30.114 --> 00:01:33.394 ή ποιο σύστημα συντεταγμένων τοποθετείτε στο έδαφος της κατασκήνωσης, 00:01:33.394 --> 00:01:35.265 το διάνυσμα δεν αλλάζει. 00:01:35.635 --> 00:01:38.538 Ας χρησιμοποιήσουμε το οικείο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 00:01:38.538 --> 00:01:40.334 με τους άξονες x και y. 00:01:40.574 --> 00:01:44.104 Αποκαλούμε αυτές τις δύο κατευθύνσεις τη βάση του συστήματος συντεταγμένων, 00:01:44.104 --> 00:01:46.484 επειδή περιγράφουν οτιδήποτε σχεδιάζουμε. 00:01:46.854 --> 00:01:51.295 Ας πούμε ότι η σκηνή ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο σημείο Β. 00:01:51.765 --> 00:01:54.005 Το βέλος, που ενώνει τα δύο σημεία, 00:01:54.005 --> 00:01:56.814 είναι το διάνυσμα από την αρχή των αξόνων στο Β. 00:01:56.994 --> 00:01:59.666 Όταν ο φίλος σας σκέφτεται προς τα πού πρέπει να κινηθεί, 00:01:59.666 --> 00:02:03.716 αυτό μπορεί να γραφτεί μαθηματικά ως 2x̂ + 3ŷ 00:02:03.847 --> 00:02:06.783 ή έτσι, που ονομάζεται «διατεταγμένο ζεύγος». 00:02:07.083 --> 00:02:09.036 Αφού κοιτάζετε σε αντίθετες κατευθύνσεις, 00:02:09.036 --> 00:02:12.476 η βάση του συστήματος συντεταγμένων δείχνει σε αντίθετες κατευθύνσεις, 00:02:12.476 --> 00:02:15.601 που τις ονομάζουμε x′ και y′ 00:02:15.601 --> 00:02:18.345 και η κίνησή σας μπορεί να γραφεί ως εξής· 00:02:18.975 --> 00:02:21.105 ή με αυτό το διατεταγμένο ζεύγος. 00:02:21.595 --> 00:02:24.960 Αν δούμε τα δύο διατεταγμένα ζεύγη, προφανώς είναι διαφορετικά. 00:02:25.150 --> 00:02:29.305 Αλλά μόνο του ένα διατεταγμένο ζεύγος δεν περιγράφει εντελώς ένα διάνυσμα. 00:02:29.455 --> 00:02:32.386 Το καθένα χρειάζεται μια βάση να του δώσει ένα πλαίσιο 00:02:32.386 --> 00:02:34.397 και όταν τους τα δώσουμε, 00:02:34.397 --> 00:02:38.135 βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα. 00:02:38.345 --> 00:02:41.806 Σκεφτείτε τα στοιχεία του διατεταγμένου ζεύγους ως ξεχωριστά γράμματα. 00:02:41.956 --> 00:02:44.715 Όπως μια ακολουθία από γράμματα γίνεται λέξη, 00:02:44.715 --> 00:02:47.595 μόνο στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης γλώσσας, 00:02:47.595 --> 00:02:50.256 ένα διατεταγμένο ζεύγος αποκτά νόημα ως διάνυσμα, 00:02:50.256 --> 00:02:52.696 όταν του έχει αντιστοιχιστεί μία βάση συντεταγμένων. 00:02:52.966 --> 00:02:57.376 Όπως διαφορετικές λέξεις σε δύο γλώσσες μπορεί να φέρουν την ίδια έννοια, 00:02:57.376 --> 00:02:59.895 διαφορετικές αναπαραστάσεις από δύο βάσεις 00:02:59.895 --> 00:03:01.805 μπορούν να περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα. 00:03:02.185 --> 00:03:05.326 Το διάνυσμα είναι η ουσία αυτού που επικοινωνείται, 00:03:05.326 --> 00:03:07.706 ανεξάρτητα από τη γλώσσα που το περιγράφει. 00:03:07.966 --> 00:03:12.488 Αποδεικνύεται ότι και οι βαθμωτοί επίσης έχουν αυτήν την ιδιότητα του αναλλοίωτου. 00:03:12.678 --> 00:03:15.308 Μάλιστα, όλες οι ποσότητες με αυτήν την ιδιότητα 00:03:15.308 --> 00:03:18.208 είναι μέλη μιας ομάδας, που ονομάζεται «τανυστές». 00:03:18.488 --> 00:03:22.447 Διάφοροι τύποι τανυστών περιέχουν διαφορετικές ποσότητες πληροφοριών. 00:03:22.637 --> 00:03:25.179 Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει κάτι που μπορεί να μεταφέρει 00:03:25.179 --> 00:03:27.727 περισσότερες πληροφορίες από τα διανύσματα; Απολύτως. 00:03:28.157 --> 00:03:30.247 Ας πούμε ότι σχεδιάζετε ένα βιντεοπαιχνίδι 00:03:30.247 --> 00:03:33.478 και θέλετε να μοντελοποιήσετε ρεαλιστικά τη συμπεριφορά του νερού. 00:03:33.628 --> 00:03:36.338 Ακόμα κι αν έχετε δυνάμεις να δρουν στην ίδια κατεύθυνση 00:03:36.338 --> 00:03:37.987 με το ίδιο πλάτος, 00:03:37.987 --> 00:03:42.368 ανάλογα με τον προσανατολισμό τους, θα δείτε κύματα ή δίνες. 00:03:42.718 --> 00:03:44.830 Όταν η δύναμη, που είναι διάνυσμα, 00:03:44.830 --> 00:03:47.980 συνδυάζεται με ένα άλλο διάνυσμα, που δίνει τον προσανατολισμό, 00:03:47.980 --> 00:03:50.917 έχουμε μια φυσική ποσότητα που ονομάζεται τάση, 00:03:50.917 --> 00:03:54.179 που είναι ένα παράδειγμα τανυστή δεύτερης τάξης. 00:03:54.479 --> 00:03:57.589 Οι τανυστές δεν χρησιμοποιούνται μόνο για βιντεοπαιχνίδια, 00:03:57.589 --> 00:04:01.339 αλλά για πολλούς άλλους σκοπούς, όπως επιστημονικές προσομοιώσεις, 00:04:01.339 --> 00:04:04.138 σχεδίαση αυτοκινήτων και την απεικόνιση του εγκεφάλου. 00:04:04.288 --> 00:04:06.989 Η οικογένεια των βαθμωτών, διανυσμάτων και τανυστών, 00:04:06.989 --> 00:04:09.374 μας παρέχει έναν σχετικά απλό τρόπο 00:04:09.374 --> 00:04:12.757 να καταλάβουμε σύνθετες ιδέες και αλληλεπιδράσεις, 00:04:12.837 --> 00:04:17.008 συνεπώς είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα κομψότητας, ομορφιάς 00:04:17.008 --> 00:04:20.121 και θεμελιώδους χρησιμότητας των Μαθηματικών.