Οι φυσικοί,
οι ελεγκτές εναέριας πτήσης
και οι δημιουργοί βιντεοπαιχνιδιών
έχουν τουλάχιστον ένα κοινό:
τα διανύσματα.
Τι ακριβώς είναι αυτά και γιατί είναι σημαντικά;
Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τους βαθμωτούς.
Ένας βαθμωτός είναι μια ποσότητα με πλάτος.
Μας λέει πόσο πολύ υπάρχει από κάτι.
Η απόστασή σας από έναν πάγκο
και ο όγκος και η θερμοκρασία του αναψυκτικού στο ποτήρι σας
περιγράφονται από βαθμωτούς.
Οι διανυσματικές ποσότητες έχουν επίσης πλάτος συν ακόμα μία πληροφορία,
την κατεύθυνση.
Για να κατευθυνθείτε προς τον πάγκο σας
πρέπει να γνωρίζετε πόσο μακριά βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση·
όχι μόνο την απόσταση, αλλά τη μετατόπιση.
Αυτό που κάνει τα διανύσματα ιδιαίτερα και χρήσιμα σε τόσα πεδία
είναι ότι δεν αλλάζουν με βάση την προοπτική,
αλλά παραμένουν αναλλοίωτα ως προς το σύστημα συντεταγμένων.
Τι σημαίνει αυτό;
Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας, μετακινείτε τη σκηνή σας.
Στέκεστε σε αντίθετες πλευρές, άρα κοιτάτε σε αντίθετες κατευθύνσεις.
Ο φίλος σας κινείται δύο βήματα προς τα δεξιά και τρία βήματα μπροστά
ενώ εσείς κινείστε δύο βήματα προς τα αριστερά και τρία βήματα πίσω.
Αλλά παρά το ότι φαίνεται σαν να κινείστε διαφορετικά,
και οι δύο καταλήγετε να έχετε μετακινηθεί την ίδια απόσταση στην ίδια κατεύθυνση,
ακολουθώντας το ίδιο διάνυσμα.
Ανεξάρτητα από το πού βλέπετε
ή ποιο σύστημα συντεταγμένων τοποθετείτε στο έδαφος της κατασκήνωσης,
το διάνυσμα δεν αλλάζει.
Ας χρησιμοποιήσουμε το οικείο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
με τους άξονες x και y.
Αποκαλούμε αυτές τις δύο κατευθύνσεις τη βάση του συστήματος συντεταγμένων,
επειδή περιγράφουν οτιδήποτε σχεδιάζουμε.
Ας πούμε ότι η σκηνή ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο σημείο Β.
Το βέλος, που ενώνει τα δύο σημεία,
είναι το διάνυσμα από την αρχή των αξόνων στο Β.
Όταν ο φίλος σας σκέφτεται προς τα πού πρέπει να κινηθεί,
αυτό μπορεί να γραφτεί μαθηματικά ως 2x̂ + 3ŷ
ή έτσι, που ονομάζεται «διατεταγμένο ζεύγος».
Αφού κοιτάζετε σε αντίθετες κατευθύνσεις,
η βάση του συστήματος συντεταγμένων δείχνει σε αντίθετες κατευθύνσεις,
που τις ονομάζουμε x′ και y′
και η κίνησή σας μπορεί να γραφεί ως εξής·
ή με αυτό το διατεταγμένο ζεύγος.
Αν δούμε τα δύο διατεταγμένα ζεύγη, προφανώς είναι διαφορετικά.
Αλλά μόνο του ένα διατεταγμένο ζεύγος δεν περιγράφει εντελώς ένα διάνυσμα.
Το καθένα χρειάζεται μια βάση να του δώσει ένα πλαίσιο
και όταν τους τα δώσουμε,
βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.
Σκεφτείτε τα στοιχεία του διατεταγμένου ζεύγους ως ξεχωριστά γράμματα.
Όπως μια ακολουθία από γράμματα γίνεται λέξη,
μόνο στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης γλώσσας,
ένα διατεταγμένο ζεύγος αποκτά νόημα ως διάνυσμα,
όταν του έχει αντιστοιχιστεί μία βάση συντεταγμένων.
Όπως διαφορετικές λέξεις σε δύο γλώσσες μπορεί να φέρουν την ίδια έννοια,
διαφορετικές αναπαραστάσεις από δύο βάσεις
μπορούν να περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.
Το διάνυσμα είναι η ουσία αυτού που επικοινωνείται,
ανεξάρτητα από τη γλώσσα που το περιγράφει.
Αποδεικνύεται ότι και οι βαθμωτοί επίσης έχουν αυτήν την ιδιότητα του αναλλοίωτου.
Μάλιστα, όλες οι ποσότητες με αυτήν την ιδιότητα
είναι μέλη μιας ομάδας, που ονομάζεται «τανυστές».
Διάφοροι τύποι τανυστών περιέχουν διαφορετικές ποσότητες πληροφοριών.
Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει κάτι που μπορεί να μεταφέρει
περισσότερες πληροφορίες από τα διανύσματα; Απολύτως.
Ας πούμε ότι σχεδιάζετε ένα βιντεοπαιχνίδι
και θέλετε να μοντελοποιήσετε ρεαλιστικά τη συμπεριφορά του νερού.
Ακόμα κι αν έχετε δυνάμεις να δρουν στην ίδια κατεύθυνση
με το ίδιο πλάτος,
ανάλογα με τον προσανατολισμό τους, θα δείτε κύματα ή δίνες.
Όταν η δύναμη, που είναι διάνυσμα,
συνδυάζεται με ένα άλλο διάνυσμα, που δίνει τον προσανατολισμό,
έχουμε μια φυσική ποσότητα που ονομάζεται τάση,
που είναι ένα παράδειγμα τανυστή δεύτερης τάξης.
Οι τανυστές δεν χρησιμοποιούνται μόνο για βιντεοπαιχνίδια,
αλλά για πολλούς άλλους σκοπούς, όπως επιστημονικές προσομοιώσεις,
σχεδίαση αυτοκινήτων και την απεικόνιση του εγκεφάλου.
Η οικογένεια των βαθμωτών, διανυσμάτων και τανυστών,
μας παρέχει έναν σχετικά απλό τρόπο
να καταλάβουμε σύνθετες ιδέες και αλληλεπιδράσεις,
συνεπώς είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα κομψότητας, ομορφιάς
και θεμελιώδους χρησιμότητας των Μαθηματικών.