1
00:00:07,261 --> 00:00:08,131
Οι φυσικοί,

2
00:00:08,131 --> 00:00:09,562
οι ελεγκτές εναέριας πτήσης

3
00:00:09,562 --> 00:00:11,222
και οι δημιουργοί βιντεοπαιχνιδιών

4
00:00:11,222 --> 00:00:14,461
έχουν τουλάχιστον ένα κοινό:

5
00:00:14,461 --> 00:00:15,752
τα διανύσματα.

6
00:00:15,752 --> 00:00:18,922
Τι ακριβώς είναι αυτά
και γιατί είναι σημαντικά;

7
00:00:19,092 --> 00:00:22,953
Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα
να καταλάβουμε τους βαθμωτούς.

8
00:00:23,273 --> 00:00:25,831
Ένας βαθμωτός είναι
μια ποσότητα με πλάτος.

9
00:00:26,161 --> 00:00:28,982
Μας λέει πόσο πολύ υπάρχει από κάτι.

10
00:00:29,212 --> 00:00:31,272
Η απόστασή σας από έναν πάγκο

11
00:00:31,272 --> 00:00:34,602
και ο όγκος και η θερμοκρασία
του αναψυκτικού στο ποτήρι σας

12
00:00:34,602 --> 00:00:37,032
περιγράφονται από βαθμωτούς.

13
00:00:37,642 --> 00:00:42,983
Οι διανυσματικές ποσότητες έχουν επίσης
πλάτος συν ακόμα μία πληροφορία,

14
00:00:42,983 --> 00:00:44,269
την κατεύθυνση.

15
00:00:44,389 --> 00:00:46,312
Για να κατευθυνθείτε προς τον πάγκο σας

16
00:00:46,312 --> 00:00:49,483
πρέπει να γνωρίζετε πόσο μακριά
βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση·

17
00:00:49,573 --> 00:00:52,783
όχι μόνο την απόσταση, αλλά τη μετατόπιση.

18
00:00:53,163 --> 00:00:56,853
Αυτό που κάνει τα διανύσματα ιδιαίτερα
και χρήσιμα σε τόσα πεδία

19
00:00:56,853 --> 00:00:59,852
είναι ότι δεν αλλάζουν
με βάση την προοπτική,

20
00:00:59,852 --> 00:01:03,022
αλλά παραμένουν αναλλοίωτα
ως προς το σύστημα συντεταγμένων.

21
00:01:03,342 --> 00:01:04,323
Τι σημαίνει αυτό;

22
00:01:04,513 --> 00:01:07,515
Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας,
μετακινείτε τη σκηνή σας.

23
00:01:07,535 --> 00:01:11,414
Στέκεστε σε αντίθετες πλευρές,
άρα κοιτάτε σε αντίθετες κατευθύνσεις.

24
00:01:11,634 --> 00:01:15,135
Ο φίλος σας κινείται δύο βήματα
προς τα δεξιά και τρία βήματα μπροστά

25
00:01:15,135 --> 00:01:18,994
ενώ εσείς κινείστε δύο βήματα
προς τα αριστερά και τρία βήματα πίσω.

26
00:01:19,454 --> 00:01:22,223
Αλλά παρά το ότι φαίνεται
σαν να κινείστε διαφορετικά,

27
00:01:22,223 --> 00:01:26,085
και οι δύο καταλήγετε να έχετε μετακινηθεί
την ίδια απόσταση στην ίδια κατεύθυνση,

28
00:01:26,085 --> 00:01:28,054
ακολουθώντας το ίδιο διάνυσμα.

29
00:01:28,414 --> 00:01:30,114
Ανεξάρτητα από το πού βλέπετε

30
00:01:30,114 --> 00:01:33,394
ή ποιο σύστημα συντεταγμένων
τοποθετείτε στο έδαφος της κατασκήνωσης,

31
00:01:33,394 --> 00:01:35,265
το διάνυσμα δεν αλλάζει.

32
00:01:35,635 --> 00:01:38,538
Ας χρησιμοποιήσουμε το οικείο
καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

33
00:01:38,538 --> 00:01:40,334
με τους άξονες x και y.

34
00:01:40,574 --> 00:01:44,104
Αποκαλούμε αυτές τις δύο κατευθύνσεις
τη βάση του συστήματος συντεταγμένων,

35
00:01:44,104 --> 00:01:46,484
επειδή περιγράφουν οτιδήποτε σχεδιάζουμε.

36
00:01:46,854 --> 00:01:51,295
Ας πούμε ότι η σκηνή ξεκινά από την αρχή
των αξόνων και καταλήγει στο σημείο Β.

37
00:01:51,765 --> 00:01:54,005
Το βέλος, που ενώνει τα δύο σημεία,

38
00:01:54,005 --> 00:01:56,814
είναι το διάνυσμα
από την αρχή των αξόνων στο Β.

39
00:01:56,994 --> 00:01:59,666
Όταν ο φίλος σας σκέφτεται
προς τα πού πρέπει να κινηθεί,

40
00:01:59,666 --> 00:02:03,716
αυτό μπορεί να γραφτεί
μαθηματικά ως 2x̂ + 3ŷ

41
00:02:03,847 --> 00:02:06,783
ή έτσι, που ονομάζεται
«διατεταγμένο ζεύγος».

42
00:02:07,083 --> 00:02:09,036
Αφού κοιτάζετε σε αντίθετες κατευθύνσεις,

43
00:02:09,036 --> 00:02:12,476
η βάση του συστήματος συντεταγμένων
δείχνει σε αντίθετες κατευθύνσεις,

44
00:02:12,476 --> 00:02:15,601
που τις ονομάζουμε x′ και y′

45
00:02:15,601 --> 00:02:18,345
και η κίνησή σας μπορεί να γραφεί ως εξής·

46
00:02:18,975 --> 00:02:21,105
ή με αυτό το διατεταγμένο ζεύγος.

47
00:02:21,595 --> 00:02:24,960
Αν δούμε τα δύο διατεταγμένα ζεύγη,
προφανώς είναι διαφορετικά.

48
00:02:25,150 --> 00:02:29,305
Αλλά μόνο του ένα διατεταγμένο ζεύγος
δεν περιγράφει εντελώς ένα διάνυσμα.

49
00:02:29,455 --> 00:02:32,386
Το καθένα χρειάζεται μια βάση
να του δώσει ένα πλαίσιο

50
00:02:32,386 --> 00:02:34,397
και όταν τους τα δώσουμε,

51
00:02:34,397 --> 00:02:38,135
βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα
περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

52
00:02:38,345 --> 00:02:41,806
Σκεφτείτε τα στοιχεία του διατεταγμένου
ζεύγους ως ξεχωριστά γράμματα.

53
00:02:41,956 --> 00:02:44,715
Όπως μια ακολουθία
από γράμματα γίνεται λέξη,

54
00:02:44,715 --> 00:02:47,595
μόνο στο πλαίσιο
μιας συγκεκριμένης γλώσσας,

55
00:02:47,595 --> 00:02:50,256
ένα διατεταγμένο ζεύγος
αποκτά νόημα ως διάνυσμα,

56
00:02:50,256 --> 00:02:52,696
όταν του έχει αντιστοιχιστεί
μία βάση συντεταγμένων.

57
00:02:52,966 --> 00:02:57,376
Όπως διαφορετικές λέξεις σε δύο γλώσσες
μπορεί να φέρουν την ίδια έννοια,

58
00:02:57,376 --> 00:02:59,895
διαφορετικές αναπαραστάσεις από δύο βάσεις

59
00:02:59,895 --> 00:03:01,805
μπορούν να περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

60
00:03:02,185 --> 00:03:05,326
Το διάνυσμα είναι η ουσία
αυτού που επικοινωνείται,

61
00:03:05,326 --> 00:03:07,706
ανεξάρτητα από τη γλώσσα
που το περιγράφει.

62
00:03:07,966 --> 00:03:12,488
Αποδεικνύεται ότι και οι βαθμωτοί επίσης
έχουν αυτήν την ιδιότητα του αναλλοίωτου.

63
00:03:12,678 --> 00:03:15,308
Μάλιστα, όλες οι ποσότητες
με αυτήν την ιδιότητα

64
00:03:15,308 --> 00:03:18,208
είναι μέλη μιας ομάδας,
που ονομάζεται «τανυστές».

65
00:03:18,488 --> 00:03:22,447
Διάφοροι τύποι τανυστών περιέχουν
διαφορετικές ποσότητες πληροφοριών.

66
00:03:22,637 --> 00:03:25,179
Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει κάτι
που μπορεί να μεταφέρει

67
00:03:25,179 --> 00:03:27,727
περισσότερες πληροφορίες
από τα διανύσματα; Απολύτως.

68
00:03:28,157 --> 00:03:30,247
Ας πούμε ότι σχεδιάζετε ένα βιντεοπαιχνίδι

69
00:03:30,247 --> 00:03:33,478
και θέλετε να μοντελοποιήσετε ρεαλιστικά
τη συμπεριφορά του νερού.

70
00:03:33,628 --> 00:03:36,338
Ακόμα κι αν έχετε δυνάμεις
να δρουν στην ίδια κατεύθυνση

71
00:03:36,338 --> 00:03:37,987
με το ίδιο πλάτος,

72
00:03:37,987 --> 00:03:42,368
ανάλογα με τον προσανατολισμό τους,
θα δείτε κύματα ή δίνες.

73
00:03:42,718 --> 00:03:44,830
Όταν η δύναμη, που είναι διάνυσμα,

74
00:03:44,830 --> 00:03:47,980
συνδυάζεται με ένα άλλο διάνυσμα,
που δίνει τον προσανατολισμό,

75
00:03:47,980 --> 00:03:50,917
έχουμε μια φυσική ποσότητα
που ονομάζεται τάση,

76
00:03:50,917 --> 00:03:54,179
που είναι ένα παράδειγμα
τανυστή δεύτερης τάξης.

77
00:03:54,479 --> 00:03:57,589
Οι τανυστές δεν χρησιμοποιούνται
μόνο για βιντεοπαιχνίδια,

78
00:03:57,589 --> 00:04:01,339
αλλά για πολλούς άλλους σκοπούς,
όπως επιστημονικές προσομοιώσεις,

79
00:04:01,339 --> 00:04:04,138
σχεδίαση αυτοκινήτων
και την απεικόνιση του εγκεφάλου.

80
00:04:04,288 --> 00:04:06,989
Η οικογένεια των βαθμωτών,
διανυσμάτων και τανυστών,

81
00:04:06,989 --> 00:04:09,374
μας παρέχει έναν σχετικά απλό τρόπο

82
00:04:09,374 --> 00:04:12,757
να καταλάβουμε σύνθετες ιδέες
και αλληλεπιδράσεις,

83
00:04:12,837 --> 00:04:17,008
συνεπώς είναι ένα εξαιρετικό
παράδειγμα κομψότητας, ομορφιάς

84
00:04:17,008 --> 00:04:20,121
και θεμελιώδους χρησιμότητας
των Μαθηματικών.