0:00:07.261,0:00:08.131
Οι φυσικοί,

0:00:08.131,0:00:09.562
οι ελεγκτές εναέριας πτήσης

0:00:09.562,0:00:11.222
και οι δημιουργοί βιντεοπαιχνιδιών

0:00:11.222,0:00:14.461
έχουν τουλάχιστον ένα κοινό:

0:00:14.461,0:00:15.752
τα διανύσματα.

0:00:15.752,0:00:18.922
Τι ακριβώς είναι αυτά[br]και γιατί είναι σημαντικά;

0:00:19.092,0:00:22.953
Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα[br]να καταλάβουμε τους βαθμωτούς.

0:00:23.273,0:00:25.831
Ένας βαθμωτός είναι[br]μια ποσότητα με πλάτος.

0:00:26.161,0:00:28.982
Μας λέει πόσο πολύ υπάρχει από κάτι.

0:00:29.212,0:00:31.272
Η απόστασή σας από έναν πάγκο

0:00:31.272,0:00:34.602
και ο όγκος και η θερμοκρασία[br]του αναψυκτικού στο ποτήρι σας

0:00:34.602,0:00:37.032
περιγράφονται από βαθμωτούς.

0:00:37.642,0:00:42.983
Οι διανυσματικές ποσότητες έχουν επίσης[br]πλάτος συν ακόμα μία πληροφορία,

0:00:42.983,0:00:44.269
την κατεύθυνση.

0:00:44.389,0:00:46.312
Για να κατευθυνθείτε προς τον πάγκο σας

0:00:46.312,0:00:49.483
πρέπει να γνωρίζετε πόσο μακριά[br]βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση·

0:00:49.573,0:00:52.783
όχι μόνο την απόσταση, αλλά τη μετατόπιση.

0:00:53.163,0:00:56.853
Αυτό που κάνει τα διανύσματα ιδιαίτερα[br]και χρήσιμα σε τόσα πεδία

0:00:56.853,0:00:59.852
είναι ότι δεν αλλάζουν[br]με βάση την προοπτική,

0:00:59.852,0:01:03.022
αλλά παραμένουν αναλλοίωτα[br]ως προς το σύστημα συντεταγμένων.

0:01:03.342,0:01:04.323
Τι σημαίνει αυτό;

0:01:04.513,0:01:07.515
Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας,[br]μετακινείτε τη σκηνή σας.

0:01:07.535,0:01:11.414
Στέκεστε σε αντίθετες πλευρές,[br]άρα κοιτάτε σε αντίθετες κατευθύνσεις.

0:01:11.634,0:01:15.135
Ο φίλος σας κινείται δύο βήματα[br]προς τα δεξιά και τρία βήματα μπροστά

0:01:15.135,0:01:18.994
ενώ εσείς κινείστε δύο βήματα[br]προς τα αριστερά και τρία βήματα πίσω.

0:01:19.454,0:01:22.223
Αλλά παρά το ότι φαίνεται[br]σαν να κινείστε διαφορετικά,

0:01:22.223,0:01:26.085
και οι δύο καταλήγετε να έχετε μετακινηθεί[br]την ίδια απόσταση στην ίδια κατεύθυνση,

0:01:26.085,0:01:28.054
ακολουθώντας το ίδιο διάνυσμα.

0:01:28.414,0:01:30.114
Ανεξάρτητα από το πού βλέπετε

0:01:30.114,0:01:33.394
ή ποιο σύστημα συντεταγμένων[br]τοποθετείτε στο έδαφος της κατασκήνωσης,

0:01:33.394,0:01:35.265
το διάνυσμα δεν αλλάζει.

0:01:35.635,0:01:38.538
Ας χρησιμοποιήσουμε το οικείο[br]καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

0:01:38.538,0:01:40.334
με τους άξονες x και y.

0:01:40.574,0:01:44.104
Αποκαλούμε αυτές τις δύο κατευθύνσεις[br]τη βάση του συστήματος συντεταγμένων,

0:01:44.104,0:01:46.484
επειδή περιγράφουν οτιδήποτε σχεδιάζουμε.

0:01:46.854,0:01:51.295
Ας πούμε ότι η σκηνή ξεκινά από την αρχή[br]των αξόνων και καταλήγει στο σημείο Β.

0:01:51.765,0:01:54.005
Το βέλος, που ενώνει τα δύο σημεία,

0:01:54.005,0:01:56.814
είναι το διάνυσμα[br]από την αρχή των αξόνων στο Β.

0:01:56.994,0:01:59.666
Όταν ο φίλος σας σκέφτεται[br]προς τα πού πρέπει να κινηθεί,

0:01:59.666,0:02:03.716
αυτό μπορεί να γραφτεί[br]μαθηματικά ως 2x̂ + 3ŷ

0:02:03.847,0:02:06.783
ή έτσι, που ονομάζεται[br]«διατεταγμένο ζεύγος».

0:02:07.083,0:02:09.036
Αφού κοιτάζετε σε αντίθετες κατευθύνσεις,

0:02:09.036,0:02:12.476
η βάση του συστήματος συντεταγμένων[br]δείχνει σε αντίθετες κατευθύνσεις,

0:02:12.476,0:02:15.601
που τις ονομάζουμε x′ και y′

0:02:15.601,0:02:18.345
και η κίνησή σας μπορεί να γραφεί ως εξής·

0:02:18.975,0:02:21.105
ή με αυτό το διατεταγμένο ζεύγος.

0:02:21.595,0:02:24.960
Αν δούμε τα δύο διατεταγμένα ζεύγη,[br]προφανώς είναι διαφορετικά.

0:02:25.150,0:02:29.305
Αλλά μόνο του ένα διατεταγμένο ζεύγος[br]δεν περιγράφει εντελώς ένα διάνυσμα.

0:02:29.455,0:02:32.386
Το καθένα χρειάζεται μια βάση[br]να του δώσει ένα πλαίσιο

0:02:32.386,0:02:34.397
και όταν τους τα δώσουμε,

0:02:34.397,0:02:38.135
βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα[br]περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

0:02:38.345,0:02:41.806
Σκεφτείτε τα στοιχεία του διατεταγμένου[br]ζεύγους ως ξεχωριστά γράμματα.

0:02:41.956,0:02:44.715
Όπως μια ακολουθία[br]από γράμματα γίνεται λέξη,

0:02:44.715,0:02:47.595
μόνο στο πλαίσιο[br]μιας συγκεκριμένης γλώσσας,

0:02:47.595,0:02:50.256
ένα διατεταγμένο ζεύγος[br]αποκτά νόημα ως διάνυσμα,

0:02:50.256,0:02:52.696
όταν του έχει αντιστοιχιστεί[br]μία βάση συντεταγμένων.

0:02:52.966,0:02:57.376
Όπως διαφορετικές λέξεις σε δύο γλώσσες[br]μπορεί να φέρουν την ίδια έννοια,

0:02:57.376,0:02:59.895
διαφορετικές αναπαραστάσεις από δύο βάσεις

0:02:59.895,0:03:01.805
μπορούν να περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

0:03:02.185,0:03:05.326
Το διάνυσμα είναι η ουσία[br]αυτού που επικοινωνείται,

0:03:05.326,0:03:07.706
ανεξάρτητα από τη γλώσσα[br]που το περιγράφει.

0:03:07.966,0:03:12.488
Αποδεικνύεται ότι και οι βαθμωτοί επίσης[br]έχουν αυτήν την ιδιότητα του αναλλοίωτου.

0:03:12.678,0:03:15.308
Μάλιστα, όλες οι ποσότητες[br]με αυτήν την ιδιότητα

0:03:15.308,0:03:18.208
είναι μέλη μιας ομάδας,[br]που ονομάζεται «τανυστές».

0:03:18.488,0:03:22.447
Διάφοροι τύποι τανυστών περιέχουν[br]διαφορετικές ποσότητες πληροφοριών.

0:03:22.637,0:03:25.179
Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει κάτι[br]που μπορεί να μεταφέρει

0:03:25.179,0:03:27.727
περισσότερες πληροφορίες[br]από τα διανύσματα; Απολύτως.

0:03:28.157,0:03:30.247
Ας πούμε ότι σχεδιάζετε ένα βιντεοπαιχνίδι

0:03:30.247,0:03:33.478
και θέλετε να μοντελοποιήσετε ρεαλιστικά[br]τη συμπεριφορά του νερού.

0:03:33.628,0:03:36.338
Ακόμα κι αν έχετε δυνάμεις[br]να δρουν στην ίδια κατεύθυνση

0:03:36.338,0:03:37.987
με το ίδιο πλάτος,

0:03:37.987,0:03:42.368
ανάλογα με τον προσανατολισμό τους,[br]θα δείτε κύματα ή δίνες.

0:03:42.718,0:03:44.830
Όταν η δύναμη, που είναι διάνυσμα,

0:03:44.830,0:03:47.980
συνδυάζεται με ένα άλλο διάνυσμα,[br]που δίνει τον προσανατολισμό,

0:03:47.980,0:03:50.917
έχουμε μια φυσική ποσότητα[br]που ονομάζεται τάση,

0:03:50.917,0:03:54.179
που είναι ένα παράδειγμα[br]τανυστή δεύτερης τάξης.

0:03:54.479,0:03:57.589
Οι τανυστές δεν χρησιμοποιούνται[br]μόνο για βιντεοπαιχνίδια,

0:03:57.589,0:04:01.339
αλλά για πολλούς άλλους σκοπούς,[br]όπως επιστημονικές προσομοιώσεις,

0:04:01.339,0:04:04.138
σχεδίαση αυτοκινήτων[br]και την απεικόνιση του εγκεφάλου.

0:04:04.288,0:04:06.989
Η οικογένεια των βαθμωτών,[br]διανυσμάτων και τανυστών,

0:04:06.989,0:04:09.374
μας παρέχει έναν σχετικά απλό τρόπο

0:04:09.374,0:04:12.757
να καταλάβουμε σύνθετες ιδέες[br]και αλληλεπιδράσεις,

0:04:12.837,0:04:17.008
συνεπώς είναι ένα εξαιρετικό[br]παράδειγμα κομψότητας, ομορφιάς

0:04:17.008,0:04:20.121
και θεμελιώδους χρησιμότητας[br]των Μαθηματικών.